Trong tất cả các cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}(2x - 4y + 6) \ge 1\).

Câu hỏi số 267394:

Vận dụng

Trong tất cả các cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}(2x - 4y + 6) \ge 1\). Tìm m để tồn tại duy nhất cặp \(\left( {x;y} \right)\) sao cho \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0\).

A. \(\sqrt {13} - 3\) và \(\sqrt {13} + 3\)

B. \(\sqrt {13} - 3\)

C. \({\left( {\sqrt {13} - 3} \right)^2}\)

D. \({\left( {\sqrt {13} - 3} \right)^2}\)và \({\left( {\sqrt {13} + 3} \right)^2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:267394

Phương pháp giải

Từ bất phương trình \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}(2x - 4y + 6) \ge 1\) tìm tập hợp các điểm biểu diễn điểm \(\left( {x;y} \right)\).

Từ phương trình \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0\) tìm tập hợp các điểm biểu diễn điểm \(\left( {x;y} \right)\).

Tìm điều kiện để hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Giải chi tiết

Ta có \({x^2} + {y^2} + 2 \ge 2 > 1\,\,\forall x,y\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}(2x - 4y + 6) \ge 1\\ \Leftrightarrow 2x - 4y + 6 \ge {x^2} + {y^2} + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \le 9\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Giả sử \(M\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn phương trình (1), khi đó tập hợp điểm M là hình tròn (C₁) tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) bán kính \({R_1} = 3\).

\({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = m\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Với \(m > 0\) thì (2) là phương trình đường tròn tâm \(J\left( { - 1;1} \right)\), bán kính \({R_2} = \sqrt m \).

Để tồn tại duy nhất cặp (x;y) thỏa mãn khi và chỉ khi (C₁) và (C₂) tiếp xúc với nhau

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}IJ = {R_1} + {R_2}\\JI = \left| {{R_1} - {R_2}} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {13} = \sqrt m + 3\\\sqrt {13} = \left| {\sqrt m - 3} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = {\left( {\sqrt {13} - 3} \right)^2}\\m = {\left( {\sqrt {13} + 3} \right)^2}\end{array} \right.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.