Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất

Câu hỏi số 267494:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung AC (M khác A, C và điểm chính giữa AC), BM cắt AC tại H. Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB.

a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh CA là phân giác của góc MCK

c) Kẻ CP vuông góc với BM \(\left( {P \in BM} \right)\) và trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh ME = 2CP

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:267494

Phương pháp giải

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: “Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) thì nó là tứ giác nội tiếp”.

b) Lần lượt chứng minh \(\widehat {MCA} = \widehat {MBA}\) và \(\widehat {ACK} = \widehat {MBA}\) rồi sử dụng tính chất bắc cầu suy ra điều phải chứng minh.

c) Chứng minh \(\Delta CMA = \Delta CEB \Rightarrow CM = CE\).

Chứng minh \(\Delta MCE\) vuông cân tại \(C \Rightarrow ME = 2CP\).

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác CHKB là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác BCHK có:

\(\widehat {HCB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\widehat {HKB} = {90^0}\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \widehat {HCB} + \widehat {HKB} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

Vậy tứ giác \(CHKB\) là tứ giác nội tiếp (đpcm).

b) Chứng minh CA là phân giác của góc MCK.

- Tứ giác BCHK nội tiếp nên \(\widehat {ACK} = \widehat {MBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(HK\)).

- \(\widehat {MCA} = \widehat {MBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung MA của đường tròn tâm (O)).

Do đó \(\widehat {ACK} = \widehat {MBA} = \widehat {MCA}\) hay \(CA\) là tia phân giác của \(\widehat {MCK}\) (đpcm).

c) Chứng minh ME = 2CP.

Xét \(\Delta CMA\) và \(\Delta CEB\) có:

\(MA = EB\left( {gt} \right)\)

\(\widehat {MAC} = \widehat {EBC}\) (cùng chắn cung MC của đường tròn (O))

\(CA = CB\) (\(\Delta CAB\) vuông cân)

Do đó \(\Delta CMA = \Delta CEB\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow CM = CE\) (cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \Delta CME\) cân tại \(C\).

Lại có \(\widehat {CMB} = \widehat {CAB} = {45^0}\) (cùng chắn cung \(CB\)) nên \(\widehat {CEM} = {45^0} \Rightarrow \widehat {MCE} = {90^0}\).

Vậy \(\Delta CME\) vuông cân tại \(C\).

Mà \(CP \bot ME\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(CP\) là đường cao và cũng là đường trung tuyến của \(\Delta CME\).

Do đó \(PM = PE = CP \Rightarrow ME = 2CP\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link