Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

 Có bao nhiêu số nguyên dương m trong đoạn \(\left[ -2018;2018 \right]\) sao cho bất phương trình sau đúng với mọi \(x\in \left( 1;100 \right):\,\,{{\left( 10x \right)}^{m+\frac{\log x}{10}}}\ge {{10}^{\frac{11}{10}\log x}}\) ?

Câu 268179:  Có bao nhiêu số nguyên dương m trong đoạn \(\left[ -2018;2018 \right]\) sao cho bất phương trình sau đúng với mọi \(x\in \left( 1;100 \right):\,\,{{\left( 10x \right)}^{m+\frac{\log x}{10}}}\ge {{10}^{\frac{11}{10}\log x}}\) ?

A. 2018                           

B.  4026                            

C. 2013                            

D. 4036

Câu hỏi : 268179

Phương pháp giải:

+) Log cơ số 10 hai vế.


+) Đặt \(t=\log x,\,\,t\in \left( 1;10 \right)\)  đưa bất phương trình về dạng \(f\left( t \right)\ge m\,\,\forall t\in \left( 1;10 \right)\Rightarrow m\le \underset{\left[ 0;10 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)\)

  • Đáp án : A
    (0) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    \(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,\,{{\left( 10x \right)}^{m+\frac{\log x}{10}}}\ge {{10}^{\frac{11}{10}\log x}}\,\,\,\forall x\in \left( 1;100 \right) \\ & \Leftrightarrow \log \left[ {{\left( 10x \right)}^{m+\frac{\log x}{10}}} \right]\ge \log \left( {{10}^{\frac{11}{10}\log x}} \right)\,\,\,\forall x\in \left( 1;100 \right) \\ & \Leftrightarrow \left( m+\frac{\log x}{10} \right)\left( 1+\log x \right)\ge \frac{11}{10}\log x\,\,\,\forall x\in \left( 1;100 \right) \\ & \Leftrightarrow \left( 10m+\log x \right)\left( 1+\log x \right)\ge 11.\log x\,\,\,\forall x\in \left( 1;100 \right) \\ & \Leftrightarrow 10m\left( 1+\log x \right)+\log x+{{\log }^{2}}x\ge 11.\log x\,\,\,\forall x\in \left( 1;100 \right) \\ & \Leftrightarrow {{\log }^{2}}x-10.\log x\ge -10m\left( 1+\log x \right)\,\,\,\forall x\in \left( 1;100 \right) \\\end{align}\)

    Ta có \(x\in \left( 1;100 \right)\Rightarrow \log x>\log 1=0\Leftrightarrow 1+\log x>0\)

    \(\Rightarrow \frac{{{\log }^{2}}x-10.\log x}{1+\log x}\ge -10m\,\,\,\forall x\in \left( 1;100 \right)\)

    Đặt \(t=\log x;\,\,t\in \left( 0;10 \right)\Rightarrow \frac{{{t}^{2}}-10t}{1+t}\ge -10m\,\,\forall t\in \left( 0;10 \right)\)

    Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-10t}{1+t}\Rightarrow -10m\le \underset{\left[ 0;10 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)\)

    Ta có 

    \(f'\left( t \right) = \frac{{\left( {2t - 10} \right)\left( {1 + t} \right) - {t^2} + 10t}}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}} = \frac{{{t^2} + 2t - 10}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    t = - 1 - \sqrt {11} \,\,\left( {ktm} \right)\\
    t = - 1 + \sqrt {11} \,\,\,\left( {tm} \right)
    \end{array} \right.\)

    \(\begin{align}  & f\left( 0 \right)=0;\,\,f\left( 10 \right)=0;\,\,f\left( -1+\sqrt{11} \right)=-12+2\sqrt{11}\Rightarrow \underset{\left[ 0;10 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=-12+2\sqrt{11} \\ & \Rightarrow -10m\le -12+2\sqrt{11} \\ & \Leftrightarrow m\ge \frac{-12+2\sqrt{11}}{-10}=\frac{6-\sqrt{11}}{5} \\\end{align}\)

    Kết hợp điều kiện \(m\in \left[ -2018;2018 \right]\Rightarrow m\in \left[ \frac{6-\sqrt{11}}{5};2018 \right]\)  vậy có 2018 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn điều kiện bài toán.

    Chọn A.

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com