Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right){{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2018}}=x.{{e}^{x}}\,\,\forall x\in R\) và \(f\left( 1 \right)=1\) . Hỏi phương trình \(f\left( x \right)=-\frac{1}{e}\) có bao nhiêu nghiệm?

Câu 268178: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right){{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2018}}=x.{{e}^{x}}\,\,\forall x\in R\) và \(f\left( 1 \right)=1\) . Hỏi phương trình \(f\left( x \right)=-\frac{1}{e}\) có bao nhiêu nghiệm?

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Câu hỏi : 268178

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+) Nguyên hàm hai vế tìm f(x).

+) Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình \(f\left( x \right)=-\frac{1}{e}\)

Đáp án : D
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{align} & f'\left( x \right){{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2018}}=x.{{e}^{x}}\,\,\forall x\in R \\ & \Rightarrow \int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right){{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2018}}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{x{{e}^{x}}dx} \\ & \Leftrightarrow \int\limits_{{}}^{{}}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2018}}d\left( f\left( x \right) \right)}=\int\limits_{{}}^{{}}{xd\left( {{e}^{x}} \right)} \\ & \Leftrightarrow \frac{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}}{2019}=x{{e}^{x}}-\int\limits_{{}}^{{}}{{{e}^{x}}dx}+C \\ & \Leftrightarrow \frac{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}}{2019}=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C \\ & \Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}=2019\left( x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C \right) \\ & f\left( 1 \right)=1\Leftrightarrow {{1}^{2019}}=2019C\Leftrightarrow C=\frac{1}{2019} \\ & \Rightarrow {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}=2019\left( x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+\frac{1}{2019} \right) \\ & \Rightarrow f\left( x \right)=-\frac{1}{e}\Rightarrow {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}=\frac{-1}{{{e}^{2019}}} \\ & \Leftrightarrow 2019\left( x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+\frac{1}{2019} \right)=\frac{-1}{{{e}^{2019}}} \\ & \Leftrightarrow 2019\left( x{{e}^{x}}-{{e}^{x}} \right)+1+\frac{1}{{{e}^{2019}}}=0 \\\end{align}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=2019\left( x{{e}^{x}}-{{e}^{x}} \right)+1+\frac{1}{{{e}^{2019}}}\) ta có \(f'\left( x \right)=2019\left( {{e}^{x}}+x{{e}^{x}}-{{e}^{x}} \right)=2019x{{e}^{x}}=0\Leftrightarrow x=0\)

\(f\left( 0 \right)=-2018+\frac{1}{{{e}^{2019}}}<0\)

Lập BBT ta thấy đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt \(\Rightarrow \) phương trình \(f\left( x \right)=-\frac{1}{e}\) có 2 nghiệm phân biệt.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.