Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right){{\left[ f\left( x \right)

Câu hỏi số 268178:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right){{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2018}}=x.{{e}^{x}}\,\,\forall x\in R\) và \(f\left( 1 \right)=1\) . Hỏi phương trình \(f\left( x \right)=-\frac{1}{e}\) có bao nhiêu nghiệm?

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268178

Phương pháp giải

+) Nguyên hàm hai vế tìm f(x).

+) Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình \(f\left( x \right)=-\frac{1}{e}\)

Giải chi tiết

\(\begin{align} & f'\left( x \right){{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2018}}=x.{{e}^{x}}\,\,\forall x\in R \\ & \Rightarrow \int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right){{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2018}}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{x{{e}^{x}}dx} \\ & \Leftrightarrow \int\limits_{{}}^{{}}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2018}}d\left( f\left( x \right) \right)}=\int\limits_{{}}^{{}}{xd\left( {{e}^{x}} \right)} \\ & \Leftrightarrow \frac{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}}{2019}=x{{e}^{x}}-\int\limits_{{}}^{{}}{{{e}^{x}}dx}+C \\ & \Leftrightarrow \frac{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}}{2019}=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C \\ & \Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}=2019\left( x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C \right) \\ & f\left( 1 \right)=1\Leftrightarrow {{1}^{2019}}=2019C\Leftrightarrow C=\frac{1}{2019} \\ & \Rightarrow {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}=2019\left( x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+\frac{1}{2019} \right) \\ & \Rightarrow f\left( x \right)=-\frac{1}{e}\Rightarrow {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2019}}=\frac{-1}{{{e}^{2019}}} \\ & \Leftrightarrow 2019\left( x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+\frac{1}{2019} \right)=\frac{-1}{{{e}^{2019}}} \\ & \Leftrightarrow 2019\left( x{{e}^{x}}-{{e}^{x}} \right)+1+\frac{1}{{{e}^{2019}}}=0 \\\end{align}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=2019\left( x{{e}^{x}}-{{e}^{x}} \right)+1+\frac{1}{{{e}^{2019}}}\) ta có \(f'\left( x \right)=2019\left( {{e}^{x}}+x{{e}^{x}}-{{e}^{x}} \right)=2019x{{e}^{x}}=0\Leftrightarrow x=0\)

\(f\left( 0 \right)=-2018+\frac{1}{{{e}^{2019}}}<0\)

Lập BBT ta thấy đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt \(\Rightarrow \) phương trình \(f\left( x \right)=-\frac{1}{e}\) có 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.