Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( 2;0;0 \right);\,\,B\left( 0;4;0

Câu hỏi số 268180:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( 2;0;0 \right);\,\,B\left( 0;4;0 \right);\,\,C\left( 0;0;6 \right)\) Điểm M thay đổi trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và điểm N là điểm trên tia OM sao cho \(OM.ON=12\) Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó?

A. \(\frac{7}{2}\)

B. \(3\sqrt{2}\)

C. \(2\sqrt{3}\)

D. \(\frac{5}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268180

Phương pháp giải

+) Gọi điểm \(N\left( x;y;z \right)\)

+) Ta có O, M, N thẳng hàng \(\Rightarrow OM.ON=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=12\)

+) Tìm tọa độ điểm M theo x, y, z, viết phương trình mặt phẳng (ABC) dạng đoạn chắn.

+) \(M\in \left( ABC \right)\) rút ra phương trình mặt cầu.

Giải chi tiết

Gọi điểm \(N\left( x;y;z \right)\)

Ta có O, M, N thẳng hàng \(\Rightarrow OM.ON=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=12\)

\(\begin{align} & \Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{12}{\overrightarrow{ON}}=\frac{12}{O{{N}^{2}}}.\overrightarrow{ON}=\frac{12}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}\left( x;y;z \right) \\ & \Rightarrow M\left( \frac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\frac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\frac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right) \\\end{align}\)

Mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) có phương trình \(\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{6}=1\Leftrightarrow 6x+3y+2z-12=0\)

Do \(M\in \left( ABC \right)\) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có:

\(\begin{align} & 6\frac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3\frac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+2\frac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}-12=0 \\ & \Leftrightarrow 6x+3y+2z-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)=0 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x-3y-2z=0 \\\end{align}\)

Vậy khi M thay đổi trên \(\left( ABC \right)\) thì N luôn thuộc mặt cầu tâm \(I\left( 3;\frac{3}{2};1 \right)\) bán kính \(R=\sqrt{9+\frac{9}{4}+1}=\frac{7}{2}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.