Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( 2;0;0 \right);\,\,B\left( 0;4;0 \right);\,\,C\left( 0;0;6 \right)\) Điểm M thay đổi trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và điểm N là điểm trên tia OM sao cho \(OM.ON=12\) Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó?
Câu 268180: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( 2;0;0 \right);\,\,B\left( 0;4;0 \right);\,\,C\left( 0;0;6 \right)\) Điểm M thay đổi trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và điểm N là điểm trên tia OM sao cho \(OM.ON=12\) Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó?
A. \(\frac{7}{2}\)
B. \(3\sqrt{2}\)
C. \(2\sqrt{3}\)
D. \(\frac{5}{2}\)
+) Gọi điểm \(N\left( x;y;z \right)\)
+) Ta có O, M, N thẳng hàng \(\Rightarrow OM.ON=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=12\)
+) Tìm tọa độ điểm M theo x, y, z, viết phương trình mặt phẳng (ABC) dạng đoạn chắn.
+) \(M\in \left( ABC \right)\) rút ra phương trình mặt cầu.
-
Đáp án : A(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi điểm \(N\left( x;y;z \right)\)
Ta có O, M, N thẳng hàng \(\Rightarrow OM.ON=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=12\)
\(\begin{align} & \Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{12}{\overrightarrow{ON}}=\frac{12}{O{{N}^{2}}}.\overrightarrow{ON}=\frac{12}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}\left( x;y;z \right) \\ & \Rightarrow M\left( \frac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\frac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\frac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right) \\\end{align}\)
Mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) có phương trình \(\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{6}=1\Leftrightarrow 6x+3y+2z-12=0\)
Do \(M\in \left( ABC \right)\) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có:
\(\begin{align} & 6\frac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3\frac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+2\frac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}-12=0 \\ & \Leftrightarrow 6x+3y+2z-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)=0 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x-3y-2z=0 \\\end{align}\)
Vậy khi M thay đổi trên \(\left( ABC \right)\) thì N luôn thuộc mặt cầu tâm \(I\left( 3;\frac{3}{2};1 \right)\) bán kính \(R=\sqrt{9+\frac{9}{4}+1}=\frac{7}{2}\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
