Cho ba số x, y, z thỏa mãn \(4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+9{{z}^{2}}=4x+12z+11\) Tìm giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 268188:

Vận dụng cao

Cho ba số x, y, z thỏa mãn \(4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+9{{z}^{2}}=4x+12z+11\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=4x+2y+3z\)

A. \(6+2\sqrt{15}\)

B. \(20\)

C. \(8+4\sqrt{3}\)

D. \(16\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268188

Phương pháp giải

+) Đặt

\(\left\{ \begin{array}{l}
x' = 2x\\
y' = y\\
z' = 3z
\end{array} \right.\)

Đưa phương trình về dạng phương trình mặt cầu và phương trình mặt phẳng.

+) Tìm điều kiện để mặt phẳng và mặt cầu cắt nhau.

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
x' = 2x\\
y' = y\\
z' = 3z
\end{array} \right.\) ta có \(x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}+z{{'}^{2}}=2x'+4z'+11\Leftrightarrow x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}+z{{'}^{2}}-2x'-4z'-11=0\,\,\left( S \right)\) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( 1;0;2 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{1+4+11}=4\)

Gọi điểm \(M\left( x';y';z' \right)\) thỏa mãn điều kiện trên \(\Rightarrow M\in \left( S \right)\)

Ta có: \(P=4x+2y+3z=2x'+2y'+z'\Leftrightarrow 2x'+2y'+z'-P=0\,\,\left( \alpha \right)\)

\(\Rightarrow M\in \left( \alpha \right)\)

Để \(P=4x+2y+3z\) đạt giá trị lớn nhất, điều kiện cần là tồn tại M \(\Rightarrow \left( S \right)\) và \(\left( \alpha \right)\) có điểm chung A

Vậy \({{P}_{\max }}=16\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.