Cho phương trình \(A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x +

Câu hỏi số 268243:

Vận dụng

Cho phương trình \(A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\) (với \(x > 0,x \ne 1\) )

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = A - 9\sqrt x \)

A. \(\begin{array}{l}a)A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\\b)P = - 5\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}a)A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\\b)P = - 5\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}a)A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\\b)P = - 1\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}a)A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\\b)P = - 9\end{array}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268243

Phương pháp giải

a) Phân tích mẫu thức thành nhân tử sau đó quy đồng mẫu các phân thức rồi biến đổi để rút gọn biểu thức.

b) Sử dụng bất đẳng thức Co-si để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.

Giải chi tiết

a) Rút gọn biểu thức A.

\(A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\) (với \(x > 0,x \ne 1\) )

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\end{array}\)

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = A - 9\sqrt x \)

\(\begin{array}{l}P = A - 9\sqrt x \\ = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x \\ = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)\end{array}\)

Với \(x > 0,x \ne 1\), áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương \(\frac{1}{{\sqrt x }};9\sqrt x \) ta có: \(\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6\)

Từ đó ta có: \(1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là -5. Dấu “= xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link