Trong hệ tọa độ Oxy, cho Parabol \(y = {x^2}\left( P \right)\) và đường thẳng có phương trình \(y =
Trong hệ tọa độ Oxy, cho Parabol \(y = {x^2}\left( P \right)\) và đường thẳng có phương trình \(y = \left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2m + 3\left( d \right)\)
a) Chứng minh với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để tam giác OAB cân tại O. Khi đó tính diện tích tam giác OAB.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
a) Để chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt:
+) Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d). Số giao điểm của (P) và (d) cũng chính là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
+) (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt tức là phương trình hoành độ giao điểm luôn có 2 nghiệm phân biệt. Ta cần tính biệt thức \(\Delta \,\,\left( {\Delta '} \right)\) và chứng minh cho \(\Delta \,\,\left( {\Delta '} \right) > 0\)
a) Chứng minh với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
\(\begin{array}{l}{x^2} = \left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2m + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m - 1} \right)x - {m^2} + 2m - 3 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Số giao điểm của (P) và (d) chính là số nghiệm của phương trình (1).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( { - {m^2} + 2m - 3} \right)\\ = {m^2} - 2m + 1 + 4{m^2} - 8m + 12\\ = 5{m^2} - 10m + 13\\ = 5\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 8\\ = 5{\left( {m - 1} \right)^2} + 8 > 0,\forall m\end{array}\)
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B: \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right);B\left( {{x_2};{y_2}} \right),\left( {{x_1} \ne {x_2}} \right)\) mà A, B thuộc vào (P) nên \(A\left( {{x_1};x_1^2} \right);B\left( {{x_2};x_2^2} \right)\)
Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\{x_1}{x_2} = - {m^2} + 2m - 3\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\)
Tam giác OAB cân tại O nên OA = OB hay \(O{A^2} = O{B^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_1^2 + {\left( {x_1^2} \right)^2} = x_2^2 + {\left( {x_2^2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x_1^2 + x_1^4 = x_2^2 + x_2^4\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - x_2^2} \right) + \left( {x_1^4 - x_2^4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - x_2^2} \right)\left( {1 + x_1^2 + x_2^2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\{x_1} = - {x_2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\1 + x_1^2 + x_2^2 = 0\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
+) TH1: Kết hợp (3) với (*) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = - {x_2}\\{x_1} + {x_2} = m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\).
+) TH2: Từ (4) ta có \(x_1^2 + x_2^2 + 1 = 0\) (vô lí vì \(x_1^2 \ge 0;\,\,x_2^2 \ge 0 \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 + 1 > 0\))
Kết luận: Vậy m = 1 thì tam giác OAB cân tại O.
Với m = 1 thì (d) trở thành: y = 2 là 1 đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
Với m = 1 ta có: Phương trình (1) trở thành: \({x^2} - 2 = 0\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = - \sqrt 2 \Rightarrow {y_1} = 2 \Rightarrow A\left( { - \sqrt 2 ;2} \right)\\{x_2} = \sqrt 2 \Rightarrow {y_2} = 2 \Rightarrow B\left( {\sqrt 2 ;2} \right)\end{array} \right.\)
Ta có: \(AB = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 8 \)
Ta có: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OH.AB = \frac{1}{2}.2.\sqrt 8 = \sqrt 8 \left( {dvdt} \right)\)
Đáp án cần chọn là: D
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
