Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, M là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn (M
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, M là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn đó lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh: \(\widehat {COD} = {90^0}\)
b) Gọi K là giao điểm của BM với Ax. Chứng minh: \(\Delta KMO \sim \Delta AMD\)
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM.
Quảng cáo
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, M là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn đó lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh \(\widehat {COD} = {90^0}\).
Ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà \(\widehat {AOM}\) và \(\widehat {BOM}\) là hai góc kề bù \( \Rightarrow OC \bot OD\).
\( \Rightarrow \widehat {COD} = {90^0}\).
b) Gọi K là giao điểm của BM và Ax. Chứng minh \(\Delta KMO \sim \Delta AMD\)
Xét tứ giác OBDM có \(\angle OBD + \angle OMD = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác OBDM là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)
\( \Rightarrow \angle ABM = \angle ODM\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OM)
Lại có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).
\( \Rightarrow \angle KAM = \angle ODM\)
Xét tam giác AMK và tam giác DMO có:
\(\angle KAM = \angle ODM\)(cmt)
\( \Rightarrow \angle AMK = \angle OMD = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta AMK \sim \Delta DMO\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{MK}}{{MO}} = \frac{{MA}}{{MD}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\angle KMO = \angle KMC + \angle CMO = \angle KMC + {90^0}\\\angle AMD = \angle AMB + \angle BMD = \angle BMD + {90^0}\end{array}\)
Mà (2 góc đối đỉnh)
Nên \(\angle KMO = \angle AMD\)
Xét tam giác KMO và tam giác AMD có:
\( \Rightarrow \Delta KMO \sim \Delta AMD\,\,\left( {c.g.c} \right)\)
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM.
Ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta ACM \sim \Delta BOM\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{{S_{ACM}}}}{{{S_{OBM}}}} = \frac{{A{C^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{A{M^2}}}{{B{M^2}}}\)
Lại có \({S_{OBM}} = \frac{1}{2}{S_{MAB}} \Rightarrow {S_{ACM}} = \frac{1}{2}{S_{MAB}}.\frac{{M{A^2}}}{{M{B^2}}}\)
Tương tự \(\Delta BDM \sim \Delta AOM\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{{S_{BDM}}}}{{{S_{AOM}}}} = \frac{{B{D^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{B{M^2}}}{{A{M^2}}}\)
Lại có \({S_{AOM}} = \frac{1}{2}{S_{MAB}} \Rightarrow {S_{BDM}} = \frac{1}{2}{S_{MAB}}.\frac{{B{M^2}}}{{A{M^2}}}\)
\( \Rightarrow {S_{ACM}} + {S_{BDM}} = \frac{1}{2}{S_{MAB}}\frac{{A{C^2} + B{D^2}}}{{{R^2}}}\)
\(\Delta MAB \sim \Delta MCD\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{{S_{MAB}}}}{{{S_{MCD}}}} = \frac{{A{B^2}}}{{C{D^2}}} \Rightarrow {S_{MAB}} = {S_{MCD}}.\frac{{4{R^2}}}{{C{D^2}}} = \frac{1}{2}R.CD.\frac{{4{R^2}}}{{C{D^2}}} = \frac{{2{R^3}}}{{CD}}\)
\( \Rightarrow {S_{ACM}} + {S_{BDM}} = \frac{1}{2}.\frac{{2{R^3}}}{{CD}}.\frac{{A{C^2} + B{D^2}}}{{{R^2}}} = R.\frac{{A{C^2} + B{D^2}}}{{CD}}\)
Ta có \(AC = CM;\,\,BD = BM;\,\,CD = CM + DM\)
\( \Rightarrow {S_{ACM}} + {S_{BDM}} = R.\frac{{C{M^2} + D{M^2}}}{{CM + DM}}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có \({\left( {CM + DM} \right)^2} \le 2\left( {C{M^2} + D{M^2}} \right) \Rightarrow \frac{{C{M^2} + D{M^2}}}{{{{\left( {CM + DM} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{C{M^2} + D{M^2}}}{{CM + DM}} \ge \frac{1}{2}\left( {CM + DM} \right) = \frac{1}{2}CD \ge \frac{1}{2}AB = R\\ \Rightarrow {S_{ACM}} + {S_{BDM}} = R.\frac{{C{M^2} + D{M^2}}}{{CM + DM}} \ge {R^2}\end{array}\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}CM = DM\\CD = AB\end{array} \right.\) , khi đó M là điểm chính giữa của cung AB.
Vậy \({\left( {{S_{ACM}} + {S_{BDM}}} \right)_{\min }} = {R^2} \Leftrightarrow M\) là điểm chính giữa của cung AB.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
