Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC),

Câu hỏi số 268283:

Vận dụng

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC), gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC.

1) Chứng minh \(A{{C}^{2}}=CH.CB.\)

2) Chứng minh tứ giác \(BCNM\) nội tiếp và \(AC.BM+AB.CN=AH.BC.\)

3) Đường thẳng đi qua A cắt tia HM tại E và cắt tia đối của tia NH tại F. Chứng minh BE // CF.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268283

Phương pháp giải

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

b) Chứng minh tam giác đồng dạng.

Giải chi tiết

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC), gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC.

1) Chứng minh \(A{{C}^{2}}=CH.CB.\)

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kính BC ta có:

\(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow \widehat{BAC}={{90}^{0}}\Rightarrow \) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A.\)

Xét tam giác \(ABC\) có đường cao ta có:

\(A{C^2} = CH.CB\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông). (đpcm)

2) Chứng minh tứ giác \(BCNM\) nội tiếp và \(AC.BM+AB.CN=AH.BC.\)

+) Ta có \(ANHM\) là hình chữ nhật do có 3 góc vuông.

\(\Rightarrow AN//MH,\ \ AM//HN.\)

\(\Rightarrow \widehat{MAH}=\widehat{AMN}\) (tính chất).

Lại có \(\left\{ \begin{align} \widehat{ABH}={{90}^{0}}-\widehat{BAH} \\ \widehat{ANM}={{90}^{0}}-\widehat{AMN} \\ \end{align} \right. \Rightarrow \widehat{ABH}=\widehat{ANM}\ \ hay\ \ \widehat{MBC}=\widehat{ANM}.\)

Xét tứ giác \(BCNM\) ta có: \(\widehat{MBC}=\widehat{ANM}\ \ \left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow BMNC\) là tứ giác nội tiếp (góc trong tại một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện).

+) Xét \(\Delta BMH\) và \(\Delta AHC\) ta có:

\(\widehat{MBH}=\widehat{HAC}\ \ \)(cùng phụ với \(\widehat{ACH}\))

\(\begin{align} \widehat{BMH}=\widehat{AHC}={{90}^{0}} \\ \Rightarrow \Delta BMH\sim \Delta AHC\ \ \left( g-g \right) \\ \Rightarrow \frac{BM}{AH}=\frac{BH}{AC}\Leftrightarrow AC.BM=AH.BH. \\ \end{align}\)

Xét \(\Delta CNH\) và \(\Delta BAH\) ta có:

\(\widehat{NCH}=\widehat{BAH}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABH}\))

\(\begin{align} \widehat{CNH}=\widehat{AHB}={{90}^{0}} \\ \Rightarrow \Delta CNH\sim \Delta AHB\left( g-g \right) \\ \Rightarrow \frac{CN}{AH}=\frac{CH}{AB}\Rightarrow AB.CN=AH.CH. \\ \Rightarrow AC.BM+AB.CN=AH.BH+AH.CH=AH\left( BH.CH \right)=AH.BC\ \ \left( dpcm \right) \\ \end{align}\)

3) Đường thẳng đi qua A cắt tia HM tại E và cắt tia đối của tia NH tại F. Chứng minh BE // CF.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link