Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = \frac{2}{3}\) và \({u_{n + 1}} =

Câu hỏi số 268806:

Vận dụng

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = \frac{2}{3}\) và \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{2\left( {2n + 1} \right){u_n} + 1}}\,\,\forall n \ge 1\). Giá trị nhỏ nhất của n để \({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} > \frac{{2017}}{{2018}}\) là:

A. 1010

B. 2018

C. 2017

D. 1009

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268806

Phương pháp giải

Tìm quy luật và tìm \({u_n}\), phân tích và tính tổng \({u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{u_1} = \frac{2}{3} = \frac{2}{{{2^2} - 1}}\\{u_2} = \frac{{{u_1}}}{{2\left( {2.1 + 1} \right){u_1} + 1}} = \frac{2}{{15}} = \frac{2}{{{4^2} - 1}}\\{u_3} = \frac{{{u_2}}}{{2\left( {2.2 + 1} \right){u_2} + 1}} = \frac{2}{{35}} = \frac{2}{{{6^2} - 1}}\\.....\\{u_n} = \frac{2}{{{{\left( {2n} \right)}^2} - 1}}\\\,\,\,\,\,{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} > \frac{{2017}}{{2018}}\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{{2^2} - 1}} + \frac{2}{{{4^2} - 1}} + \frac{2}{{{6^2} - 1}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {2n} \right)}^2} - 1}} > \frac{{2017}}{{2018}}\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + \frac{2}{{5.7}} + \frac{2}{{7.9}} + ... + \frac{2}{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}} > \frac{{2017}}{{2018}}\\ \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}} > \frac{{2017}}{{2018}}\\ \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{2n + 1}} > \frac{{2017}}{{2018}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{2n + 1}} < \frac{1}{{2018}}\\ \Leftrightarrow 2n + 1 > 2018 \Leftrightarrow n > 1008,5\,\,\left( {n \in N} \right)\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn là \(n = 1009\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.