Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3}\) . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

Câu hỏi số 269971:

Thông hiểu

Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3}\) . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B sao cho \(AB = \sqrt {20} \).

A. \(m = \pm 1\)

B. \(m = \pm 2\)

C. \(m = 1;m = 2\)

D. \(m = 1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:269971

Phương pháp giải

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các điểm cực trị của hàm số.

+) Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = R\)

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right.\)

Để hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Rightarrow m \ne 0\)

\(\begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow y = 4{m^3} \Rightarrow A\left( {0;4{m^3}} \right)\\
x = 2m \Rightarrow y = 0 \Rightarrow B\left( {2m;0} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow AB = \sqrt {4{m^2} + 16{m^6}} = \sqrt {20} \\
\Leftrightarrow 4{m^2} + 16{m^6} = 20 \Leftrightarrow 16{m^6} - 16{m^2} + 20{m^2} - 20 = 0\\
\Leftrightarrow 16{m^2}\left( {{m^2} - 1} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) + 20\left( {{m^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)\left( {16{m^4} + 16{m^2} + 20} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {m^2} = 1\;\;\;\left( {do\;\;16{m^4} + 16{m^2} + 20 > 0} \right)\\
\Leftrightarrow m = \pm 1.
\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.