Cho điểm M thuộc đồ thị \(\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{x - 3}}{{x + 1}}\). Gọi d là khoảng cách

Câu hỏi số 270240:

Vận dụng

Cho điểm M thuộc đồ thị \(\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{x - 3}}{{x + 1}}\). Gọi d là khoảng cách từ 1 điểm M trên \(\left( C \right)\) đến giao điểm của hai tiệm cận. Giá trị nhỏ nhất có thể có của d là:

A. \(\sqrt 2 \)

B. \(2\sqrt 3 \)

C. \(3\sqrt 2 \)

D. \(2\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:270240

Phương pháp giải

+) Tìm giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

+) Gọi \(M\left( {m;\frac{{m - 3}}{{m + 1}}} \right) \in \left( C \right)\,\,\left( {m \ne - 1} \right)\), tính độ dài MI.

+) Sử dụng BĐT Cauchy tìm GTNN của \(M{I^2}\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là \(y = 1\) và \(x = - 1\).

\( \Rightarrow I\left( { - 1;1} \right)\) là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Gọi \(M\left( {m;\frac{{m - 3}}{{m + 1}}} \right) \in \left( C \right)\,\,\left( {m \ne - 1} \right)\) ta có:

\(M{I^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{a - 3}}{{a + 1}} - 1} \right)^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} \ge 2\sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2}.\frac{{16}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} = 8\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = \frac{{16}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - 3\end{array} \right.\) .

\( \Rightarrow M{I^2} \ge 8 \Leftrightarrow MI \ge 2\sqrt 2 \).

Vậy \(M{I_{\min }} = 2\sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.