Cho hàm số \(y=\frac{x-2}{x+1}\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Gọi \(I\) là giao điểm của hai

Câu hỏi số 272373:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y=\frac{x-2}{x+1}\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Gọi \(I\) là giao điểm của hai tiệm cận của \(\left( C \right).\) Xét tam giác đều \(ABI\) có hai đỉnh \(A,\ B\) thuộc \(\left( C \right),\) đoạn thẳng \(AB\) có độ dài bằng:

A. \(2\sqrt{3}\)

B. \(2\sqrt{2}\)

C. \(\sqrt{3}\)

D. \(\sqrt{6}\)

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Tam giác \(ABI\) đều \(\Rightarrow IA=IB=AB.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(x=-1\) là TCĐ của đồ thị hàm số, \(y=1\) là TCN của đồ thị hàm số.

\(\Rightarrow I\left( -1;\ 1 \right)\) là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

\(\Rightarrow IH:\ \ y=-x.\)Dựa vào đô thị hàm số ta có \(\Delta IAB\) là tam giác đều \(\Rightarrow IH\) vừa là đường cao đồng thời là đường phân giác của \(\angle AIB\Rightarrow IH\) cũng là đường phân giác của góc phần tư thứ hai.

Ta có: \(AB\bot IH\Rightarrow AB:\ \ y=x+m\Leftrightarrow x-y+m=0.\)

\(\Rightarrow d\left( I;\ AB \right)=\frac{\left| -1-1+m \right|}{\sqrt{2}}=\frac{\left| m-2 \right|}{\sqrt{2}}.\)

Gọi độ dài cạnh của tam giác đều \(IAB\) là \(a\Rightarrow IH=d\left( I;\ AB \right)=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

\(\begin{align} & \Rightarrow \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\left| m-2 \right|}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow a\sqrt{3}=\sqrt{2}\left| m-2 \right| \\ & \Leftrightarrow 3{{a}^{2}}=2{{\left( m-2 \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}=\frac{2{{\left( m-2 \right)}^{2}}}{3}.\ \ \ \ \ \left( 1 \right) \\\end{align}\)

Hoành độ các giao điểm \(A,\ B\) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{x-2}{x+1}=x+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+m+2=0\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m+2 \\\end{align} \right..\)

\(\begin{align} & \Rightarrow A\left( {{x}_{1}};\ {{x}_{1}}+m \right);\ \ B\left( {{x}_{2}};\ {{x}_{2}}+m \right). \\ & \Rightarrow AB=a\Leftrightarrow A{{B}^{2}}={{a}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{1}}+m-{{x}_{2}}-m \right)}^{2}}={{a}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{a}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{a}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-8\left( m+2 \right)=\frac{2{{\left( m-2 \right)}^{2}}}{3} \\ & \Leftrightarrow 3\left( {{m}^{2}}-4\left( m+2 \right) \right)={{\left( m-2 \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 3{{m}^{2}}-12m-24={{m}^{2}}-4m+4 \\ & \Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-8m=28 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m=14. \\ & \Rightarrow AB=\sqrt{2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{m}^{2}}-8\left( m+2 \right)}=\sqrt{2\left( {{m}^{2}}-4m-8 \right)}=\sqrt{2.\left( 14-8 \right)}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}. \\\end{align}\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:272373

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.