Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao \(BE,CF\). Trên đoạn thẳng\(BE\), lấy điểm
Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao \(BE,CF\). Trên đoạn thẳng\(BE\), lấy điểm \(M\) sao cho \(\Delta AMC\) vuông tại\(M\). Trên đoạn thẳng \(CF\), lấy điểm\(N\) sao cho \(\Delta ANB\) vuông tại \(N\). Chứng minh rằng:\(AM=AN\).
Quảng cáo
Sử dụng tam giác đồng dạng để tính các cạnh \(AM,AN\) theo các cạnh khác, từ đó chứng minh chúng bằng nhau
Xét tứ giác \(ABNE\) có: \(\angle ANB=\angle AEB={{90}^{o}}\). Suy ra hai điểm \(N,E\) cùng nhìn cạnh \(AB\) với hai góc bằng nhau. Suy ra \(ABNE\) nội tiếp đường tròn.
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABNE\) có \(\angle ANE,\angle ABE\) là hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE\). Suy ra \(\angle ANE=\angle ABE\)
Mà có \(\angle ABE=\angle ACF\) (do cùng phụ với \(\angle BAC\) )
\(\Rightarrow \angle ANE=\angle ACF\)
Xét \(\Delta ANE\) và \(\Delta ACN\) có
+) \(\angle NAC\) chung
+) \(\angle ANE=\angle ACF\) ( chứng minh trên )
\(\Rightarrow \Delta ANE\sim \Delta ACN\left( g-g \right)\Rightarrow \frac{AN}{AC}=\frac{AE}{AN}\Rightarrow A{{N}^{2}}=AE.AC\). (1)
Chứng minh tương tự có: \(A{{M}^{2}}=FA.AB\). (2)
Xét \(\Delta CFA\) và \(\Delta BEA\) có:
+) \(\angle BAC\) chung
+) \(\angle AEB=\angle CFA={{90}^{0}}\)
\(\Rightarrow \Delta CFA\sim \Delta BEA\left( g-g \right)\Rightarrow \frac{FA}{EA}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow FA.AB=EA.AC\) (3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow A{{N}^{2}}=A{{M}^{2}}\Rightarrow AN=AM\) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
