Cho tam giác\(ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm\(M\) sao cho \(2MC<AC\) và \(M\) không

Câu hỏi số 272799:

Vận dụng

Cho tam giác\(ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm\(M\) sao cho \(2MC<AC\) và \(M\) không trùng với \(C\), vẽ đường tròn đường kính \(MC\). Kẻ \(BM\) cắt đường tròn tại \(D\). Đường thẳng\(DA\)cắt đường tròn tại \(S\). Chứng minh rằng:

a) \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.

b) \(CA\) là phân giác của góc \(\angle SCB\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272799

Phương pháp giải

a) Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa 2 đỉnh còn lại với 2 góc bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.

b) Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

Giải chi tiết

a) Chứng minh\(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.

Xét đường tròn tâm \(I\) đường kính \(MC\) có \(\angle MDC\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow \angle MDC={{90}^{o}}\).

Xét tứ giác\(ABCD\) có \(\angle MDC=\angle BAC={{90}^{o}}\).

Suy ra tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn (đpcm) (hai điểm \(D,A\) cùng nhìn cạnh \(BC\) với 2 góc bằng nhau.)

b) Chứng minh CA là phân giác của góc \(\angle SCB.\)

Xét đường tròn đường kính \(MC\) có\(\angle MCS,\angle MDS\) là hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(MS\). Suy ra \(\angle MCS=\angle MDS\)

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác\(ABCD\) có \(\angle ADB,\angle ACB\) là hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\). Suy ra \(\angle ADB=\angle ACB\)

Mà có \(\angle MDS\) chính là \(\angle ADB\) (do \(M,S\) lần lượt nằm trên \(CA,\ \ AD\))

Suy ra \(\angle MCS=\angle ACB\Rightarrow CA\) là tia phân giác \(\angle BCS\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link