a) Tìm các số nguyên dương \(x;\,\,y;\,\,z\) sao cho \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6 < xy + 3x +

Câu hỏi số 272834:

Vận dụng

a) Tìm các số nguyên dương \(x;\,\,y;\,\,z\) sao cho \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6 < xy + 3x + 4z\)

b) Cho 2 số nguyên dương m, n thỏa mãn \(m + n + 1\) là một ước nguyên tố của \(2\left( {{m^2} + {n^2}} \right) - 1\). CMR: \(m.n\) là số chính phương.

A. a) \(x = 2;\,\,y = z = 1\)

B. a) \(x = y = z = 2\)

C. a) \(x = y = z = 1\)

D. a) \(x = 1;\,\,y = z = 2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272834

Giải chi tiết

a) Tìm các số nguyên dương x, y, z sao cho \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6 < xy + 3x + 4z\)

Do x, y, z là các số nguyên nên

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 6 + 1 \le xy + 3y + 4z\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 7 - xy - 3y - 4z \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}y} \right)^2} + 3{\left( {\frac{y}{2} - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - \frac{1}{2}y = 0\\\frac{y}{2} - 1 = 0\\z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = 1;\,\,y = z = 2\) là 3 số nguyên cần tìm.

b) Cho 2 số nguyên dương m, n thỏa mãn \(m + n + 1\) là ước nguyên tố của \(2\left( {{m^2} + {n^2}} \right) - 1\). CMR: \(m.n\) là số chính phương.

Giả sử \(m \ne n\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {m + n} \right)^2} - 1 = \left( {m + n + 1} \right)\left( {m + n - 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {m + n + 1} \right)\\ \Rightarrow 2\left( {{m^2} + {n^2}} \right) - 1 - \left[ {{{\left( {m + n} \right)}^2} - 1} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {m + n + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2{m^2} + 2{n^2} - {m^2} - 2mn - {n^2}} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {m + n + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {m - n} \right)^2}\,\, \vdots \,\,\left( {m + n + 1} \right)\end{array}\)

Do \(m + n + 1\) là số nguyên tố \( \Rightarrow m + n + 1\) là ước của \(m - n\).

Mà \(m - n < m - n + 1\) do đó vô lý.

Vậy giả sử sai \( \Rightarrow m = n \Rightarrow m.n = {m^2}\) là số chính phương.

Ta có điều phải chứng minh.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link