a) Tìm các số nguyên dương \(x;\,\,y;\,\,z\) sao cho \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6 < xy + 3x +

Câu hỏi số 272834:

Vận dụng

a) Tìm các số nguyên dương \(x;\,\,y;\,\,z\) sao cho \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6 < xy + 3x + 4z\)

b) Cho 2 số nguyên dương m, n thỏa mãn \(m + n + 1\) là một ước nguyên tố của \(2\left( {{m^2} + {n^2}} \right) - 1\). CMR: \(m.n\) là số chính phương.

A. a) \(x = 2;\,\,y = z = 1\)

B. a) \(x = y = z = 2\)

C. a) \(x = y = z = 1\)

D. a) \(x = 1;\,\,y = z = 2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272834

Giải chi tiết

a) Tìm các số nguyên dương x, y, z sao cho \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6 < xy + 3x + 4z\)

Do x, y, z là các số nguyên nên

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 6 + 1 \le xy + 3y + 4z\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 7 - xy - 3y - 4z \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}y} \right)^2} + 3{\left( {\frac{y}{2} - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - \frac{1}{2}y = 0\\\frac{y}{2} - 1 = 0\\z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = 1;\,\,y = z = 2\) là 3 số nguyên cần tìm.

b) Cho 2 số nguyên dương m, n thỏa mãn \(m + n + 1\) là ước nguyên tố của \(2\left( {{m^2} + {n^2}} \right) - 1\). CMR: \(m.n\) là số chính phương.

Giả sử \(m \ne n\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {m + n} \right)^2} - 1 = \left( {m + n + 1} \right)\left( {m + n - 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {m + n + 1} \right)\\ \Rightarrow 2\left( {{m^2} + {n^2}} \right) - 1 - \left[ {{{\left( {m + n} \right)}^2} - 1} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {m + n + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2{m^2} + 2{n^2} - {m^2} - 2mn - {n^2}} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {m + n + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {m - n} \right)^2}\,\, \vdots \,\,\left( {m + n + 1} \right)\end{array}\)

Do \(m + n + 1\) là số nguyên tố \( \Rightarrow m + n + 1\) là ước của \(m - n\).

Mà \(m - n < m - n + 1\) do đó vô lý.

Vậy giả sử sai \( \Rightarrow m = n \Rightarrow m.n = {m^2}\) là số chính phương.

Ta có điều phải chứng minh.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link