Cho phương trình \({x^3} + 2{y^3} + 4{z^3} = 9!\,\,\left( 1 \right)\) với x, y, z là ẩn và 9! là tích các

Câu hỏi số 272856:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^3} + 2{y^3} + 4{z^3} = 9!\,\,\left( 1 \right)\) với x, y, z là ẩn và 9! là tích các số nguyên dương liên tiếp từ 1 đến 9.

a) Chứng minh rằng nếu có các số nguyên x, y, z thỏa mãn (1) thì x, y, z đều chia hết cho 4.

b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn (1).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272856

Giải chi tiết

Cho phương trình \({x^3} + 2{y^3} + 4{z^3} = 9!\,\,\left( 1 \right)\) với x, y, z là ẩn và 9! là tích các số nguyên dương liên tiếp từ 1 đến 9.

a) Chứng minh rằng nếu có các số nguyên x, y, z thỏa mãn (1) thì x, y, z đều chia hết cho 4.

Giả sử tồn tại \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn phương trình.

Ta có: \(9! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9\) là số chẵn \( \Rightarrow {x^3}\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow x\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow x = 2m\,\,\left( {m \in Z} \right)\)

\( \Rightarrow 8{m^3} + 2{y^3} + 4{z^3} = 9! \Leftrightarrow 4{m^3} + {y^3} + 2{z^3} = 1.3.4.5.6.7.8.9\) là số chẵn

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y^3}\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow y\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow y = 2n\,\,\left( {n \in Z} \right)\\ \Rightarrow 4{m^3} + 8{n^3} + 2{z^3} = 1.3.4.5.6.7.8.9\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 2{m^3} + 4{n^3} + {z^3} = 1.2.3.5.6.7.8.9\) là số chẵn

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {z^3}\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow z\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow z = 2p\,\,\left( {p \in Z} \right)\\ \Rightarrow 2{m^3} + 4{n^3} + 8{p^3} = 1.2.3.5.6.7.8.9\\ \Leftrightarrow {m^3} + 2{n^3} + 4{p^3} = 1.3.5.6.7.8.9\end{array}\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có \(\left\{ \begin{array}{l}m\,\, \vdots \,\,2\\n\,\, \vdots \,\,2\\p\,\, \vdots \,\,2\end{array} \right.\,\,\left( {m;n;p \in Z} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2m\,\, \vdots \,\,4\\y = 2n\,\, \vdots \,\,4\\z = 2p\,\, \vdots \,\,4\end{array} \right.\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn (1).

Theo ý a) ta có thể đặt \(x = 4a;\,\,y = 4b;\,\,z = 4c\,\,\left( {a;b;c \in {Z^ + }} \right)\)

\( \Rightarrow {a^3} + 2{b^3} + 4{c^3} = \frac{{9!}}{{{4^3}}} = \dfrac{{1.2.3.4.5.6.7.8.9}}{{{4^3}}} = 1.3.5.6.7.9\) là số chẵn

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow a = 2u\,\,\left( {u \in Z} \right)\\ \Rightarrow 8{u^3} + 2{b^3} + 4{c^3} = 1.3.5.6.7.9 \Leftrightarrow 4{u^3} + {b^3} + 2{c^3} = 1.3.3.5.7.9 = {1.5.7.3^4}\end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {{{1.5.7.3}^4}} \right)\,\, \vdots \,\,{3^4} \Rightarrow \left( {{{1.5.7.3}^4}} \right)\,\, \vdots \,\,9\\{x^3} \equiv 0;\,\, \pm 1\,\,\left( {\bmod 9} \right)\,\,\left( {x \in Z} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow a;\,\,b;\,\,c\,\, \vdots \,\,9 \Rightarrow \left( {4{u^3} + {b^3} + 2{c^3}} \right)\,\, \vdots \,\,{9^3}\end{array}\)

Nhưng do \({1.5.7.3^4}\) không thể chia hết cho \({9^3}\) nên ta có điều vô lý.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link