Cho phương trình \({x^3} + 2{y^3} + 4{z^3} = 9!\,\,\left( 1 \right)\) với x, y, z là ẩn và 9! là tích các

Câu hỏi số 272856:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^3} + 2{y^3} + 4{z^3} = 9!\,\,\left( 1 \right)\) với x, y, z là ẩn và 9! là tích các số nguyên dương liên tiếp từ 1 đến 9.

a) Chứng minh rằng nếu có các số nguyên x, y, z thỏa mãn (1) thì x, y, z đều chia hết cho 4.

b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn (1).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272856

Giải chi tiết

Cho phương trình \({x^3} + 2{y^3} + 4{z^3} = 9!\,\,\left( 1 \right)\) với x, y, z là ẩn và 9! là tích các số nguyên dương liên tiếp từ 1 đến 9.

a) Chứng minh rằng nếu có các số nguyên x, y, z thỏa mãn (1) thì x, y, z đều chia hết cho 4.

Giả sử tồn tại \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn phương trình.

Ta có: \(9! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9\) là số chẵn \( \Rightarrow {x^3}\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow x\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow x = 2m\,\,\left( {m \in Z} \right)\)

\( \Rightarrow 8{m^3} + 2{y^3} + 4{z^3} = 9! \Leftrightarrow 4{m^3} + {y^3} + 2{z^3} = 1.3.4.5.6.7.8.9\) là số chẵn

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y^3}\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow y\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow y = 2n\,\,\left( {n \in Z} \right)\\ \Rightarrow 4{m^3} + 8{n^3} + 2{z^3} = 1.3.4.5.6.7.8.9\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 2{m^3} + 4{n^3} + {z^3} = 1.2.3.5.6.7.8.9\) là số chẵn

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {z^3}\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow z\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow z = 2p\,\,\left( {p \in Z} \right)\\ \Rightarrow 2{m^3} + 4{n^3} + 8{p^3} = 1.2.3.5.6.7.8.9\\ \Leftrightarrow {m^3} + 2{n^3} + 4{p^3} = 1.3.5.6.7.8.9\end{array}\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có \(\left\{ \begin{array}{l}m\,\, \vdots \,\,2\\n\,\, \vdots \,\,2\\p\,\, \vdots \,\,2\end{array} \right.\,\,\left( {m;n;p \in Z} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2m\,\, \vdots \,\,4\\y = 2n\,\, \vdots \,\,4\\z = 2p\,\, \vdots \,\,4\end{array} \right.\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn (1).

Theo ý a) ta có thể đặt \(x = 4a;\,\,y = 4b;\,\,z = 4c\,\,\left( {a;b;c \in {Z^ + }} \right)\)

\( \Rightarrow {a^3} + 2{b^3} + 4{c^3} = \frac{{9!}}{{{4^3}}} = \dfrac{{1.2.3.4.5.6.7.8.9}}{{{4^3}}} = 1.3.5.6.7.9\) là số chẵn

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow a = 2u\,\,\left( {u \in Z} \right)\\ \Rightarrow 8{u^3} + 2{b^3} + 4{c^3} = 1.3.5.6.7.9 \Leftrightarrow 4{u^3} + {b^3} + 2{c^3} = 1.3.3.5.7.9 = {1.5.7.3^4}\end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {{{1.5.7.3}^4}} \right)\,\, \vdots \,\,{3^4} \Rightarrow \left( {{{1.5.7.3}^4}} \right)\,\, \vdots \,\,9\\{x^3} \equiv 0;\,\, \pm 1\,\,\left( {\bmod 9} \right)\,\,\left( {x \in Z} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow a;\,\,b;\,\,c\,\, \vdots \,\,9 \Rightarrow \left( {4{u^3} + {b^3} + 2{c^3}} \right)\,\, \vdots \,\,{9^3}\end{array}\)

Nhưng do \({1.5.7.3^4}\) không thể chia hết cho \({9^3}\) nên ta có điều vô lý.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link