Cho đường tròn (O) có dây AB là dây cung không đi qua tâm và I là trung điểm của dây AB. Trên

Câu hỏi số 273974:

Vận dụng

Cho đường tròn (O) có dây AB là dây cung không đi qua tâm và I là trung điểm của dây AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác điểm A. Vẽ hai tiếp tuyến MC và MD đến (O) (tiếp điểm C thuộc cung nhỏ AB, tiếp điểm D thuộc cung lớn AB).

a) Chứng minh tứ giác OIMD nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh \(M{{D}^{2}}=MA.MB\)

c) Đường thẳng OI cắt cung nhỏ AB của (O) tại điểm N, giao điểm của hai đường thẳng DN và MB là E. Chứng minh tam giác MCE cân tại M.

d) Đường thẳng ON cắt đường thẳng CD tại điểm F. Chứng minh \(\frac{1}{OI.OF}+\frac{1}{M{{E}^{2}}}=\frac{4}{C{{D}^{2}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:273974

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác OIMD nội tiếp được đường tròn.

I là trung điểm của AB \(\Rightarrow OI\bot AB\Rightarrow \widehat{OIM}={{90}^{0}}\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

\(\widehat{ODM}={{90}^{0}}\,\,\left( gt \right)\)

Xét tứ giác OIMD có \(\widehat{OIM}+\widehat{ODM}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác OIMD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

b) Chứng minh \(M{{D}^{2}}=MA.MB\)

Xét tam giác MAD và MDB có:

\(\widehat{BMD}\) chung;

\(\widehat{MDA}=\widehat{MBD}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

\(\Rightarrow \Delta MAD\backsim \Delta MDB\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{MA}{MD}=\frac{MD}{MB}\Rightarrow M{{D}^{2}}=MA.MB\)

c) Đường thẳng OI cắt cung nhỏ AB của (O) tại điểm N, giao điểm của hai đường thẳng DN và MB là E. Chứng minh tam giác MCE cân tại M.

Vì \(\angle MDE\) là góc nội tiếp chắn cung \(DN\Rightarrow \angle MDE=\frac{1}{2}sd\ \overset\frown{DN}.\)

Xét \(\left( O \right)\) có \(ON\bot AB\Rightarrow cung\ NA=cung\ NB\) (liên hệ giữa cung và dây)

Lại có \(\angle MED=\frac{1}{2}sd\left( \overset\frown{AD}+\overset\frown{NB} \right).\)

Mà \(\overset\frown{NA}=\overset\frown{NB}\Rightarrow \angle MED=\frac{1}{2}sd\left( \overset\frown{AB}+\overset\frown{NA} \right)=\frac{1}{2}sd\overset\frown{DN}.\)

\(\Rightarrow \angle MED=\angle MDE\ \ \left( =\frac{1}{2}sd\overset\frown{DN} \right).\)

\(\Rightarrow \Delta MDE\) cân tại \(M\Rightarrow MD=ME.\)

Lại có \(MC=MD\) (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau).

\(\Rightarrow MC=ME\Rightarrow \Delta MCE\) cân tại \(M\ \ \left( dpcm \right).\)

d) Đường thẳng ON cắt đường thẳng CD tại điểm F. Chứng minh \(\frac{1}{OI.OF}+\frac{1}{M{{E}^{2}}}=\frac{4}{C{{D}^{2}}}\)

Gọi \(H\) là giao điểm của \(OM\) và \(CD.\)

Ta có : \(OC=OD,\ MC=MD\ \)

\(\Rightarrow OM\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(CD.\)

\(\Rightarrow OM\bot CD=\left\{ H \right\}.\)

Xét \(\Delta OIM\) và \(\Delta OHF\) ta có : \(\left\{ \begin{align} & \angle MOF\ \ chung \\ & \angle OIM=\angle OHF={{90}^{0}} \\\end{align} \right..\)

\(\begin{align} & \Rightarrow \Delta OIM\backsim \Delta OHF\ \ \left( g-g \right). \\ & \Rightarrow \frac{OI}{OH}=\frac{OM}{OF}\Rightarrow OI.OF=OH.OM. \\\end{align}\)

Xét \(\Delta ODM\) vuông tại \(D\) có đường cao \(DH\) ta có : \(OH.OM=O{{D}^{2}},\ \ \frac{1}{O{{D}^{2}}}+\frac{1}{M{{D}^{2}}}=\frac{1}{D{{H}^{2}}}\)

Mà \(OI.OF=OH.OM=O{{D}^{2}},\ \ MD=ME,\ \ DH=\frac{1}{2}CD.\)

\(\Rightarrow \frac{1}{OI.OF}+\frac{1}{M{{E}^{2}}}=\frac{4}{C{{D}^{2}}}\ \ \left( dpcm \right).\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link