Cho 3 số a, b, c thỏa mãn \(-1<a,\ b,\ c\le 4\) và \(a+2b+3c\le 4\). Chứng minh rằng

Câu hỏi số 275506:

Vận dụng cao

Cho 3 số a, b, c thỏa mãn \(-1<a,\ b,\ c\le 4\) và \(a+2b+3c\le 4\).

Chứng minh rằng \({{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+3{{c}^{2}}\le 36\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:275506

Phương pháp giải

- Tư duy logic và biến đổi bất đẳng thức để thu được bất đẳng thức cần chứng minh.

Giải chi tiết

Vì \(-1\le a\le 4\) nên \(\left\{ \begin{align} & a+1\ge 0 \\ & a-4\le 0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow (a+1)(a-4)\le 0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-3\text{a}-4\le 0\Leftrightarrow {{a}^{2}}\le 3\text{a}+4\) (1)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=-1\) hoặc a = 4.

Chứng minh tương tự, ta cũng có: \({{b}^{2}}\le 3b+4\Rightarrow 2{{b}^{2}}\le 6b+8\ \ (2)\)

và \({{c}^{2}}\le 3c+4\Rightarrow 3{{c}^{2}}\le 9c+12\ \ (3)\)

Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

\(\begin{align} & {{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+3{{c}^{2}}\le 3(a+2b+3c)+24\le 3.4+24 \\ & \Rightarrow {{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+3{{c}^{2}}\le 36\ (dpcm) \\ \end{align}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{ \begin{align} & (a+1)(a-4)=0 \\ & (b+1)(b-4)=0 \\ & (c+1)(c-4)=0 \\ & a+2b+3c=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow\) \(\left\{ \begin{align} & a=-1 \\ & b=4 \\ & c=-1 \\ \end{align} \right..\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link