Cho biểu thức \(P=\frac{3x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}\)

Câu hỏi số 276536:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P=\frac{3x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}\) với \(x\ge 0,x\ne 1\)

a) Rút gọn biểu thức \(P\)

b) So sánh \(P\) với \(\sqrt{P}\) với điều kiện \(\sqrt{P}\) có nghĩa

c) Tìm \(x\) để \(\frac{1}{P}\) nguyên.

A. a) \(P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

b) \( P>\sqrt{P}\)

c) \(x=0\)

B. a) \(P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

b) \( P<\sqrt{P}\)

c) \(x=0\)

C. a) \(P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

b) \( P>\sqrt{P}\)

c) \(x<0\)

D. a) \(P=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

b) \( P>\sqrt{P}\)

c) \(x=2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:276536

Phương pháp giải

a) Quy đồng mẫu số để thực hiện việc rút gọn

b) Xét hiệu \(P-\sqrt{P}\) để so sánh

c) Thực hiện chia tử số cho mẫu số, từ đó tìm điều kiện của mẫu số để chia hết cho phần dư ở trên tử.

Giải chi tiết

a) Rút gọn biểu thức \(P\)

ĐKXĐ: \(x\ge 0,x\ne 1\)

\(\begin{align} & P=\frac{3x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}} \\ & \ \ \ =\frac{3x+\sqrt{9x}-3}{\left( x-\sqrt{x} \right)+\left( 2\sqrt{x}-2 \right)}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}} \\ & \ \ \ =\frac{3x+3\sqrt{x}-3}{\left( \sqrt{x}+2 \right).\left( \sqrt{x}-1 \right)}-\frac{\left( \sqrt{x}-1 \right).\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right).\left( \sqrt{x}+2 \right)}+\frac{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{-\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)} \\ & \ \ =\frac{3x+3\sqrt{x}-3-\left( x-1 \right)-\left( x-4 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{x+3\sqrt{x}+2}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)} \\ & \ \ =\frac{\left( x+2\sqrt{x} \right)+\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)} \\ & \ \ =\frac{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}. \\ \end{align}\)

Vậy\(P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

b) So sánh \(P\) với \(\sqrt{P}\) với điều kiện \(\sqrt{P}\) có nghĩa

\(\sqrt{P}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\ge 0\Leftrightarrow \sqrt{x}-1>0\ \ \left( do\ \ \sqrt{x}+1>0\ \forall x\ge 0,\ \ x\ne 1 \right)\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x}>1\Leftrightarrow x>1.\)

Xét hiệu: \(P-\sqrt{P}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\sqrt{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}}\)

\(\begin{align} & \Rightarrow P-\sqrt{P}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\sqrt{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{\sqrt{x}+1}}{\sqrt{\sqrt{x}-1}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}}{{{\left( \sqrt{\sqrt{x}-1} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}-1}. \\ \end{align}\)

Ta có: \(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}=\frac{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)\left( \sqrt{x}-\sqrt{x-1} \right)}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}=\frac{x-\left( x-1 \right)}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}>0\)

Mà có: \(\sqrt{x}-1>0\) (cmt)

\(\Rightarrow P-\sqrt{P}>0\Rightarrow P>\sqrt{P}\) với mọi \(x>1.\)

c) Tìm \(x\) để \(\frac{1}{P}\) nguyên.

Xét: \(\frac{1}{P}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1-2}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{2}{\sqrt{x}+1}\)

Để \(\frac{1}{P}\) nguyên thì \(\frac{2}{\sqrt{x}+1}\) nguyên, suy ra \(\sqrt{x}+1\) là ước của 2. Mà \(\sqrt{x}+1>\)0

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right) \in U\left( 2 \right) \Rightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right) = \left\{ {1;\;2} \right\}.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x + 1 = 2\\
\sqrt x + 1 = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x = 1\\
\sqrt x = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\;\;\left( {ktm} \right)\\
x = 0\;\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy với \(x=0\) thì \(\frac{1}{P}\) nguyên.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link