Cho biểu thức \(P=\frac{3x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}\)

Câu hỏi số 276536:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P=\frac{3x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}\) với \(x\ge 0,x\ne 1\)

a) Rút gọn biểu thức \(P\)

b) So sánh \(P\) với \(\sqrt{P}\) với điều kiện \(\sqrt{P}\) có nghĩa

c) Tìm \(x\) để \(\frac{1}{P}\) nguyên.

A. a) \(P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

b) \( P>\sqrt{P}\)

c) \(x=0\)

B. a) \(P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

b) \( P<\sqrt{P}\)

c) \(x=0\)

C. a) \(P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

b) \( P>\sqrt{P}\)

c) \(x<0\)

D. a) \(P=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

b) \( P>\sqrt{P}\)

c) \(x=2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:276536

Phương pháp giải

a) Quy đồng mẫu số để thực hiện việc rút gọn

b) Xét hiệu \(P-\sqrt{P}\) để so sánh

c) Thực hiện chia tử số cho mẫu số, từ đó tìm điều kiện của mẫu số để chia hết cho phần dư ở trên tử.

Giải chi tiết

a) Rút gọn biểu thức \(P\)

ĐKXĐ: \(x\ge 0,x\ne 1\)

\(\begin{align} & P=\frac{3x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}} \\ & \ \ \ =\frac{3x+\sqrt{9x}-3}{\left( x-\sqrt{x} \right)+\left( 2\sqrt{x}-2 \right)}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}} \\ & \ \ \ =\frac{3x+3\sqrt{x}-3}{\left( \sqrt{x}+2 \right).\left( \sqrt{x}-1 \right)}-\frac{\left( \sqrt{x}-1 \right).\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right).\left( \sqrt{x}+2 \right)}+\frac{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{-\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)} \\ & \ \ =\frac{3x+3\sqrt{x}-3-\left( x-1 \right)-\left( x-4 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{x+3\sqrt{x}+2}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)} \\ & \ \ =\frac{\left( x+2\sqrt{x} \right)+\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)} \\ & \ \ =\frac{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}. \\ \end{align}\)

Vậy\(P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

b) So sánh \(P\) với \(\sqrt{P}\) với điều kiện \(\sqrt{P}\) có nghĩa

\(\sqrt{P}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\ge 0\Leftrightarrow \sqrt{x}-1>0\ \ \left( do\ \ \sqrt{x}+1>0\ \forall x\ge 0,\ \ x\ne 1 \right)\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x}>1\Leftrightarrow x>1.\)

Xét hiệu: \(P-\sqrt{P}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\sqrt{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}}\)

\(\begin{align} & \Rightarrow P-\sqrt{P}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\sqrt{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{\sqrt{x}+1}}{\sqrt{\sqrt{x}-1}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}}{{{\left( \sqrt{\sqrt{x}-1} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}-1}. \\ \end{align}\)

Ta có: \(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}=\frac{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)\left( \sqrt{x}-\sqrt{x-1} \right)}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}=\frac{x-\left( x-1 \right)}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}>0\)

Mà có: \(\sqrt{x}-1>0\) (cmt)

\(\Rightarrow P-\sqrt{P}>0\Rightarrow P>\sqrt{P}\) với mọi \(x>1.\)

c) Tìm \(x\) để \(\frac{1}{P}\) nguyên.

Xét: \(\frac{1}{P}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1-2}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{2}{\sqrt{x}+1}\)

Để \(\frac{1}{P}\) nguyên thì \(\frac{2}{\sqrt{x}+1}\) nguyên, suy ra \(\sqrt{x}+1\) là ước của 2. Mà \(\sqrt{x}+1>\)0

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right) \in U\left( 2 \right) \Rightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right) = \left\{ {1;\;2} \right\}.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x + 1 = 2\\
\sqrt x + 1 = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x = 1\\
\sqrt x = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\;\;\left( {ktm} \right)\\
x = 0\;\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy với \(x=0\) thì \(\frac{1}{P}\) nguyên.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link