Cho ba số a, b, c dương. Chứng tỏ rằng \(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) không là số

Câu hỏi số 276551:

Vận dụng cao

Cho ba số a, b, c dương. Chứng tỏ rằng \(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) không là số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:276551

Phương pháp giải

Chứng minh giá trị của M nhỏ hơn và lớn hơn 2 số nguyên dương liên tiếp \(\Rightarrow \) M không phải số nguyên.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{align} & \frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c} \\ & \frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c} \\ & \frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c} \\ \end{align}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\left( =\frac{a+b+c}{a+b+c}=1 \right)\) (1)

Lại có:

\(\begin{align}& \frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c} \\ & \frac{b}{b+c}<\frac{b+a}{a+b+c} \\ & \frac{c}{c+a}<\frac{c+b}{a+b+c} \\ \end{align}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}\left( =\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2 \right)\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2\)

\(\Rightarrow \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) không phải là số nguyên (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link