Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y +z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức P = + +

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 2771:

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y +z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức P = $\frac{1}{1+xy+x^{2}y^{2}}$ + $\frac{1}{1+yz+y^{2}z^{2}}$ + $\frac{1}{1+zx+z^{2}x^{2}}$

A. Giá trị nhỏ nhất của P bằng -2

B. Giá trị nhỏ nhất của P bằng -1

C. Giá trị nhỏ nhất của P bằng 2

D. Giá trị nhỏ nhất của P bằng 1

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:2771

Giải chi tiết

Ta có 3 – P = $\frac{xy+x^{2}y^{2}}{1+xy+x^{2}y^{2}}$ + $\frac{yz+y^{2}z^{2}}{1+yz+y^{2}z^{2}}$ + $\frac{zx+z^{2}x^{2}}{1+zx+z^{2}x^{2}}$

Với các số không âm x,y ta chỉ ra rằng $\frac{xy+x^{2}y^{2}}{1+xy+x^{2}y^{2}}$ ≤ $\frac{x+y}{3}$ (1)

Thật vậy, bất đẳng thức (1) tương đương với

x³y² + x²y³ + x²y + xy² + x + y ≥ 3(xy + x²y²). (2)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có x³y² + x²y³+xy ≥ 3 x²y² (3)

và x²y +y + xy² +x ≥ 2xy + 2xy =4xy (4)

Cộng (3) và (4) ta được (2). Như vậy (1) được chứng minh.

Tương tự ta thu được

$\frac{yz+y^{2}z^{2}}{1+yz+y^{2}z^{2}}$ ≤ $\frac{y+z}{3}$ và $\frac{zx+z^{2}x^{2}}{1+zx+z^{2}x^{2}}$ ≤ $\frac{z+x}{3}$ (5)

Từ (1) và (5) ta có 3 – P ≤ $\frac{2(x+y+z)}{3}$ = 2. Suy ra P ≥ 1.

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z =1.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt khi x =y = z =1.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.