Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh AC. Vẽ đường tròn đường kính MC cắt
Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh AC. Vẽ đường tròn đường kính MC cắt cạnh BC tại N \(\left( N\ne C \right).\) Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại D \(\left( D\ne M \right).\) Chứng minh:
a) Tứ giác BADC nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.
b) \(CM.CA=CN.CB.\)
c) \(O{{M}^{2}}=ON.OC.\)
Quảng cáo
a) Tứ giác BADC nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.
Ta có: D thuộc đường tròn đường kính MC nên \(\angle MDC={{90}^{0}}\,\,hay\,\,\angle BDC={{90}^{0}}\)
Nên D thuộc đường tròn đường kính BC (1)
Có: \(\angle BAC={{90}^{0}}\) (gt tam giác ABC vuông tại A) nên A thuộc đường tròn đường kính BC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm B, A,D, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Hay tứ giác BADC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Gọi O là trung điểm của BC, Khi đó ta có tâm O của đường tròn chính là trung điểm của BC và bán kính chính bằng nửa độ dài BC.
b) \(CM.CA=CN.CB.\)
Xét tam giác CMN và tam giác CBA có:
\(\angle CNM=\angle CAB={{90}^{0}}\)
\(\angle NCM\) chung
Nên \(\Delta CMN\sim \Delta CBA\left( g-g \right)\)
\(\Rightarrow \frac{CM}{CB}=\frac{CN}{CA}\Rightarrow CM.CA=CB.CN\) (điều phải chứng minh)
c) \(O{{M}^{2}}=ON.OC.\)
Ta có: O là trung điểm của BC (cm câu a)
M là trung điểm của AC (gt)
Nên OM là đường trung bình của tam giác ABC
Khi đó ta có: \(OM\parallel AB\) . Mà \(AB\bot AC\left( gt \right)\Rightarrow OM\bot AC\,\,hay\,\,\,OM\,\,\,\bot MC\)
Xét tam giác vuông OMC có MN là đường cao.
\(\Rightarrow O{{M}^{2}}=ON.OC\) (điều phải chứng minh)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
