1) Hai đại biểu của trường A và trường B tham dự một buổi hội thảo. Mỗi đại biểu
1) Hai đại biểu của trường A và trường B tham dự một buổi hội thảo. Mỗi đại biểu của trường A lân lượt bắt tay với từng đại biểu của trường B một lần. Tính số đại biểu của mỗi trường, biết số cái bắt tay bằng ba lần tổng số đại biểu của cả hai trường và số đại biểu của trường A nhiều hơn số đại biểu của trường B.
2) Cho \(x,y,z\) là các số dương. Chứng minh rằng \(\frac{2\sqrt{x}}{{{x}^{3}}+{{y}^{2}}}+\frac{2\sqrt{y}}{{{y}^{3}}+{{z}^{2}}}+\frac{2\sqrt{z}}{{{z}^{3}}+{{x}^{2}}}\le \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
1) Gọi số đại biểu của trường A là x (đại biểu) và số đại biểu của trường B là y (đại biểu) \(\left( x,y\in N*;x>y \right)\)
Mỗi đại biểu của trường A bắt tay với lần lượt từng đại biểu của trường B nên số cái bắt tay là \(xy\)
Vì số cái bắt tay bằng 3 lần tổng số đại biểu của cả hai trường nên \(xy=3\left( x+y \right)\)
\(\Rightarrow xy=3x+3y\Leftrightarrow x\left( y-3 \right)=3y\)
TH1: \(y=3\Leftrightarrow x.0=9\) (vô lí)
TH2: \(y\ne 3\Rightarrow y=\frac{3y}{y-3}=\frac{3y-9+9}{y-3}=3+\frac{9}{y-3}\)
Do \(x\in N*\Rightarrow y-3\in U\left( 9 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 3;\pm 9 \right\}\)
Vậy số đại biểu của trường A là 12 đại biểu và số đại biểu của trường B là 4 đại biểu.
2) Cho \(x,y,z\) là các số dương. Chứng minh rằng \(\frac{2\sqrt{x}}{{{x}^{3}}+{{y}^{2}}}+\frac{2\sqrt{y}}{{{y}^{3}}+{{z}^{2}}}+\frac{2\sqrt{z}}{{{z}^{3}}+{{x}^{2}}}\le \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}\)
(Hướng dẫn Thầy Phạm Văn Phúc – Nam Định).
Do \(x,y,z>0\)
Theo Bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(\begin{align} & {{x}^{3}}+{{y}^{2}}\ge 2\sqrt{{{x}^{3}}{{y}^{2}}}=2\sqrt{x}.xy \\ & \Rightarrow \frac{1}{{{x}^{3}}+{{y}^{2}}}\le \frac{1}{2\sqrt{x}.xy} \\ & \Rightarrow \frac{\sqrt{x}}{{{x}^{3}}+{{y}^{2}}}\le \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}.xy} \\ & \Rightarrow \frac{2\sqrt{x}}{{{x}^{3}}+{{y}^{2}}}\le \frac{1}{xy} \\\end{align}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\begin{align} & \frac{2\sqrt{y}}{{{y}^{3}}+{{z}^{2}}}\le \frac{1}{yz} \\ & \frac{2\sqrt{z}}{{{z}^{3}}+{{x}^{2}}}\le \frac{1}{zx} \\\end{align}\)
\(\Rightarrow \frac{2\sqrt{x}}{{{x}^{3}}+{{y}^{2}}}+\frac{2\sqrt{y}}{{{y}^{3}}+{{z}^{2}}}+\frac{2\sqrt{z}}{{{z}^{3}}+{{x}^{2}}}\le \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\left( 1 \right)\)
Mặt khác
\(\begin{align} & \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}\ge 2\sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}.\frac{1}{{{y}^{2}}}}=\frac{2}{xy} \\ & \frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}\ge 2\sqrt{\frac{1}{{{y}^{2}}}.\frac{1}{{{z}^{2}}}}=\frac{2}{yz} \\ & \frac{1}{{{z}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}\ge 2\sqrt{\frac{1}{{{z}^{2}}}.\frac{1}{{{x}^{2}}}}=\frac{2}{xz} \\ & \Rightarrow 2\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}} \right)\ge 2\left( \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz} \right) \\\end{align}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\le \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta suy ra: \(\frac{2\sqrt{x}}{{{x}^{3}}+{{y}^{2}}}+\frac{2\sqrt{y}}{{{y}^{3}}+{{x}^{2}}}+\frac{2\sqrt{z}}{{{z}^{3}}+{{x}^{2}}}\le \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
Đáp án cần chọn là: A
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
