Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính AB và điểm C trên đường tròn \(\left( C\ne A;C\ne

Câu hỏi số 278487:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính AB và điểm C trên đường tròn \(\left( C\ne A;C\ne B \right)\) Gọi D là một điểm trên cung nhỏ \(CB\,\,\left( D\ne C;D\ne B \right)\) ; E là giao điểm của AD và BC; I là hình chiếu vuông góc của E trên AB; M là điểm thứ hai của đường thẳng DI và đường tròn \(\left( O \right)\)

1) Chứng minh tứ giác BDEI là tứ giác nội tiếp và \(CM\bot AB\)

2) Gọi K là giao điểm của BC và DM. Chứng minh \(BK.CE=BC.EK\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:278487

Phương pháp giải

1) Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tổng hai góc đối bằng \({{180}^{0}}\) . Chứng minh CM song song với 1 đường thẳng vuông góc với AB.

2) Sử dụng tính chất phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác CIK để chứng minh

Giải chi tiết

1) Chứng minh tứ giác BDEI là tứ giác nội tiếp và \(CM\bot AB\)

Ta có \(\angle ADB={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow \angle EDB={{90}^{0}}\)

Xét tứ giác \(BDEI\) có \(\angle EDB+\angle EIB={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác BDEI là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

\(\Rightarrow \angle EID=\angle EBD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DE).

Mà \(\angle EBD=\angle CBD=\angle CMD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD của đường tròn \(\left( O \right)\()

\(\Rightarrow \angle EID=\angle CMD\) Mà hai góc này ở vị trí đồng vị \(\Rightarrow EI//CM\)

Mà \(EI\bot AB\,\,\left( gt \right)\Rightarrow CM\bot AB\)

2) Gọi K là giao điểm của BC và DM. Chứng minh \(BK.CE=BC.EK\)

Xét tứ giác ACEI có \(\angle ACE={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\angle ACE+\angle CIE={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác ACEI là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

\(\Rightarrow \angle CIE=\angle CAE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE)

Tứ giác BDEI là tứ giác nội tiếp (cmt) \(\Rightarrow \angle DIE=\angle DBE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DE)

Mà \(\angle CAE=\angle DBE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD của đường tròn (O))

\(\Rightarrow \angle CIE=\angle DIE=\angle KIE\Rightarrow IE\) là phân giác trong của \(\angle CIK\)

Mà \(IE\bot IB\) nên IB là phân giác ngoài của \(\angle CIK\)

Áp dụng tính chất tia phân giác ta có :

\(\frac{EC}{EK}=\frac{BC}{BK}=\frac{IC}{IK}\Rightarrow BK.CE=BC.EK\,\,\left( dpcm \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link