Cho tam giác \(ABC\) có \(AB<AC\) và 3 góc đều nhọn. Đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB<AC\) và 3 góc đều nhọn. Đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\) cắt các cạnh \(AB,\ AC\) lần lượt tại \(E\) và \(D.\)
1) Giả sử \(BC=6a.\) Tính diện tích hình tròn \(\left( O \right)\) theo \(a.\)
2) Gọi \(H\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE,\) gọi \(K\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC.\) Chứng minh rằng \(AH\bot BC.\)
3) Từ điểm \(A\) kẻ các tiếp tuyến \(AM,\ \ AN\) đến đường tròn \(\left( O \right)\) với \(M,\ N\) là các tiếp điểm. Chứng minh rằng \(\angle ANM=\angle AKN.\)
4) Giả sử \(F\) là điểm di động trên đường tròn \(\left( O \right).\) Xác định vị trí của điểm \(F\) để tam giác \(FBC\) có diện tích lớn nhất
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
+) Công thức tính diện tích hình tròn bán kính \(R\) là: \(S=\pi {{R}^{2}}.\)
+) Sử dụng các kiến thức về góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để làm bài toán.
1) Giả sử \(BC=6a\) Tính diện tích hình tròn \(\left( O \right)\) theo a.
\(BC=6a\Rightarrow OB=\frac{1}{2}BC=3a=R\)
Khi đó diện tích hình tròn \(\left( O \right)\) là \(S=\pi {{R}^{2}}=\pi .{{\left( 3a \right)}^{2}}=9\pi {{a}^{2}}\)
2) Gọi H là giao điểm của BD và CE, gọi K là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng AH vuông góc với BC.
Ta có \(\angle BEC={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow CE\bot BE\Rightarrow CE\bot AB\)
\(\angle BDC={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow BD\bot CD\Rightarrow BD\bot AC\)
Xét tam giác ABC có \(\left\{ \begin{align} & CE\bot AB \\ & BD\bot AC \\ & BD\cap CE=H \\\end{align} \right.\Rightarrow H\) là trực tâm \(\Delta ABC\Rightarrow AH\bot BC\) tại K.
3) Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn \(\left( O \right)\) với M, N là các tiếp điểm. Chứng minh rằng \(\angle ANM=\angle AKN\)
Xét tứ giác ONAK có: \(\angle ONA+\angle OKA={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác ONAK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
\(\Rightarrow \angle AON=\angle AKN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN).
Ta có: OA là phân giác của góc MON (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \(\Rightarrow \angle AON=\angle AOM=\frac{1}{2}\angle MON\Rightarrow \angle AKN=\frac{1}{2}\angle MON\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có \(AM=AN\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \(\Rightarrow \Delta AMN\) cân tại A \(\Rightarrow \angle ANM=\angle AMN\)
Xét tam giác AMN có: \(\angle ANM+\angle AMN={{180}^{0}}-\angle MAN=2\angle ANM\)
Tứ giác ONAM có \(\angle ONA+\angle OMA={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác ONAM là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)
\(\Rightarrow \angle MAN+\angle MON={{180}^{0}}\) (hai góc đối của tứ giác nội tiếp) \(\Rightarrow \angle MON={{180}^{0}}-\angle MAN\)
\(\Rightarrow 2\angle ANM=\angle MON\Rightarrow \angle ANM=\frac{1}{2}\angle MON\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \angle ANM=\angle AKN\)
4) Giả sử F là điểm di động trên đường tròn \(\left( O \right)\) Xác định vị trí của điểm F để tam giác FBC có diện tích lớn nhất.
Ta có \(\angle BFC={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow \Delta BFC\) vuông tại F.
\(\Rightarrow {{S}_{\Delta FBC}}=\frac{1}{2}FB.FC\overset{Cauchy}{\mathop{\le }}\,\frac{1}{2}.\frac{F{{B}^{2}}+F{{C}^{2}}}{2}=\frac{1}{4}B{{C}^{2}}\)
Vậy \({{S}_{\Delta FBC\,\max }}=\frac{B{{C}^{2}}}{4}\) dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow FB=FC\Rightarrow F\) là điểm chính giữa cung BC.
Đáp án cần chọn là: B
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
