Cho \(a,b,c\) là các số dương thỏa mãn điều kiện \(a + b + c + ab + bc + ca = 6\). Chứng minh

Câu hỏi số 278722:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số dương thỏa mãn điều kiện \(a + b + c + ab + bc + ca = 6\). Chứng minh rằng: \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:278722

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, Bunhiakopski và các bất đẳng thức phụ:

\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\\{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\end{array}\)

Giải chi tiết

Cho \(a,b,c\)là các số dương thỏa mãn điều kiện \(a + b + c + ab + bc + ca = 6\). Chứng minh rằng: \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\).

+) Chứng minh bất đẳng thức phụ: Với \(a,b,c\)là các số dương ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{b^2}}}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{{{b^2}}}{2}} = ab\\\frac{{{b^2}}}{2} + \frac{{{c^2}}}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{{b^2}}}{2}.\frac{{{c^2}}}{2}} = bc\\\frac{{{c^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{{c^2}}}{2}.\frac{{{a^2}}}{2}} = ac\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{b^2}}}{2} + \frac{{{c^2}}}{2}} \right) \ge ab + bc + ca \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)

Từ bất đẳng thức trên ta dễ chứng minh được bất đẳng thức thứ hai.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\end{array}\)

+) Xét bất đẳng thức \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}\)\(\)

Áp dụng bất đẳng thức Co-si ta có:

\(\begin{array}{l} + )\frac{{{a^3}}}{b} + ab \ge 2\sqrt {\frac{{{a^3}}}{b}.ab} = 2{a^2}\\ + )\frac{{{b^3}}}{c} + bc \ge 2\sqrt {\frac{{{b^3}}}{c}.bc} = 2{b^2}\\ + )\frac{{{c^3}}}{a} + ac \ge 2\sqrt {\frac{{{c^3}}}{a}.ac} = 2{c^2}\\ \Rightarrow \frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \left( {ab + bc + ca} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)} \right]\end{array}\)

Mà có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)} \right) \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}\\ \Rightarrow \frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}\end{array}\)

Xét bất đẳng thức: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\)

Theo đề bài có: \(a + b + c + ab + bc + ca = 6\)

Mà có: \(ab + bc + ca \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}\) (cmt)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) + \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} \ge 6 \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} + 3\left( {a + b + c} \right) - 18 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c - 3} \right)\left( {a + b + c + 6} \right) \ge 0 \Leftrightarrow a + b + c \ge 3\end{array}\)

Do \(a,b,c > 0 \Rightarrow a + b + c + 6 > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho bộ ba số \(\left( {1;1;1} \right)\) và \(\left( {a;b;c} \right)\) có:

\(\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a.1 + b.1 + c.1} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} \ge \frac{{{3^2}}}{3} = 3\).

Vậy ta chứng minh được \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link