Cho \(a,b,c\) là các số dương thỏa mãn điều kiện \(a + b + c + ab + bc + ca = 6\). Chứng minh

Câu hỏi số 278722:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số dương thỏa mãn điều kiện \(a + b + c + ab + bc + ca = 6\). Chứng minh rằng: \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:278722

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, Bunhiakopski và các bất đẳng thức phụ:

\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\\{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\end{array}\)

Giải chi tiết

Cho \(a,b,c\)là các số dương thỏa mãn điều kiện \(a + b + c + ab + bc + ca = 6\). Chứng minh rằng: \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\).

+) Chứng minh bất đẳng thức phụ: Với \(a,b,c\)là các số dương ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{b^2}}}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{{{b^2}}}{2}} = ab\\\frac{{{b^2}}}{2} + \frac{{{c^2}}}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{{b^2}}}{2}.\frac{{{c^2}}}{2}} = bc\\\frac{{{c^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{{c^2}}}{2}.\frac{{{a^2}}}{2}} = ac\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{b^2}}}{2} + \frac{{{c^2}}}{2}} \right) \ge ab + bc + ca \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)

Từ bất đẳng thức trên ta dễ chứng minh được bất đẳng thức thứ hai.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\end{array}\)

+) Xét bất đẳng thức \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}\)\(\)

Áp dụng bất đẳng thức Co-si ta có:

\(\begin{array}{l} + )\frac{{{a^3}}}{b} + ab \ge 2\sqrt {\frac{{{a^3}}}{b}.ab} = 2{a^2}\\ + )\frac{{{b^3}}}{c} + bc \ge 2\sqrt {\frac{{{b^3}}}{c}.bc} = 2{b^2}\\ + )\frac{{{c^3}}}{a} + ac \ge 2\sqrt {\frac{{{c^3}}}{a}.ac} = 2{c^2}\\ \Rightarrow \frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \left( {ab + bc + ca} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)} \right]\end{array}\)

Mà có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)} \right) \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}\\ \Rightarrow \frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}\end{array}\)

Xét bất đẳng thức: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\)

Theo đề bài có: \(a + b + c + ab + bc + ca = 6\)

Mà có: \(ab + bc + ca \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}\) (cmt)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) + \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} \ge 6 \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} + 3\left( {a + b + c} \right) - 18 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c - 3} \right)\left( {a + b + c + 6} \right) \ge 0 \Leftrightarrow a + b + c \ge 3\end{array}\)

Do \(a,b,c > 0 \Rightarrow a + b + c + 6 > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho bộ ba số \(\left( {1;1;1} \right)\) và \(\left( {a;b;c} \right)\) có:

\(\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a.1 + b.1 + c.1} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} \ge \frac{{{3^2}}}{3} = 3\).

Vậy ta chứng minh được \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link