Cho hình chóp SABC có cạnh bên bằng nhau và có đáy là tam giác vuông tại A. Biết rằng khoảng cách từ S đến (ABC) bằng a, khoảng cách từ B đến ( SAC) bằng , diện tích của tam giác SAC bằng 2a2 . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu hỏi số 2804:

Cho hình chóp SABC có cạnh bên bằng nhau và có đáy là tam giác vuông tại A. Biết rằng khoảng cách từ S đến (ABC) bằng a, khoảng cách từ B đến ( SAC) bằng $\frac{2a}{3}$ , diện tích của tam giác SAC bằng 2a² . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. Thể tích của khối nón bằng V = $\frac{256\pi a^{3}}{216}$ ,Diện tích xung quanh của hình nón bằng S = = $\frac{\pi a^{2}\sqrt{357220}}{120}$ (đvdt)

B. Thể tích của khối nón bằng V = $\frac{256\pi a^{3}}{216}$ , Diện tích xung quanh của hình nón bằng S = = $\frac{\pi a^{2}\sqrt{357220}}{144}$ (đvdt)

C. Thể tích của khối nón bằng V = $\frac{256\pi a^{3}}{216}$ , Diện tích xung quanh của hình nón bằng S = = $\frac{\pi a^{2}\sqrt{357220}}{130}$ (đvdt)

D. Thể tích của khối nón bằng V = $\frac{256\pi a^{3}}{216}$ , Diện tích xung quanh của hình nón bằng S = $\frac{\pi a^{2}\sqrt{357220}}{140}$ (đvdt)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:2804

Giải chi tiết

Vì hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau nên hình chiếu của S xuống (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì tam giác ABC vuông tại B nên trung điểm O của BC chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó SO⊥ (ABC). Suy ra SO = a.

Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó OM ⊥AC . Kẻ OH ⊥ SM tại H.

Khi đó OH⊥(SAC). Do đó

OH = d(O,(SAC)) = $\frac{1}{2}$ d(B,(SAC)) = $\frac{a}{3}$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOM ta có $\frac{1}{OH^{2}}$ = $\frac{1}{OS^{2}}$ + $\frac{1}{OM^{2}}$ => $\frac{1}{OM^{2}}$ = $\frac{9}{a^{2}}$ + $\frac{1}{a^{2}}$ => OM = $\frac{a}{\sqrt{8}}$

Trong tam giác vuông SOM ta có

SM = $\sqrt{SO^{2}+OM^{2}}$ = $\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{8}}$ = $\frac{3a}{\sqrt{8}}$

Trong tam giác SAC ta có AC = $\frac{2S_{SAC}}{SM}$ = $\frac{2a^{2}\sqrt{8}}{3a}$ = $\frac{8a\sqrt{2}}{3}$ .

Trong tam giác vuông OMC ta có

OC = $\sqrt{OM^{2}+MC^{2}}$ = $\sqrt{\frac{a^{2}}{8}+\frac{32a^{2}}{9}}$ = $\frac{a\sqrt{530}}{12}$ .

Trong tam giác vuông SOC ta có

SC = $\sqrt{SO^{2}+OC^{2}}$ = $\sqrt{a^{2}+\frac{265a^{2}}{72}}$ = $\frac{a\sqrt{674}}{12}$ .

Thể tích của khối nón bằng V = $\frac{1}{3}$ .π. OC².SO = $\frac{1}{3}$ π. $\frac{256a^{2}}{72}$ .a = $\frac{256\pi a^{3}}{216}$ (đvtt).

Diện tích xung quanh của hình nón bằng S = π. OC.SC = π $\frac{a\sqrt{530}}{12}$ . $\frac{a\sqrt{674}}{12}$ = $\frac{\pi a^{2}\sqrt{357220}}{144}$ (đvdt)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.