Cho các số thực không âm x , y, z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 ≤ 3y.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + +

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 2808:

Cho các số thực không âm x , y, z thỏa mãn điều kiện x² + y² + z² ≤ 3y.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{1}{(x+1)^{2}}$ + $\frac{4}{(y+2)^{2}}$ + $\frac{8}{(z+3)^{2}}$

A. Giá trị nhỏ nhất của P bằng 1

B. Giá trị nhỏ nhất của P bằng 4

C. Giá trị nhỏ nhất của P bằng 3

D. Giá trị nhỏ nhất của P bằng 2

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:2808

Giải chi tiết

Ta có 2x + 4y + 2z ≤ (x² + 1) + ( y² + 4) + (z² + 1) = x² + y² + z² + 6 ≤ 3y + 6.

Suy ra x + $\frac{y}{2}$ + z ≤ 3. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = $\frac{y}{2}$ = z = 1

Chú ý rằng, với hai số dương a,b áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

$\frac{1}{a^{2}}$ + $\frac{1}{b^{2}}$ ≥ $\frac{8}{(a+b)^{2}}$ (1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Áp dụng (1) ta được P = $\frac{1}{(x+1)^{2}}$ + $\frac{1}{(\frac{y}{2}+1)^{2}}$ + $\frac{8}{(z+3)^{2}}$

≥ $\frac{8}{(x+1+\frac{y}{2}+1)^{2}}$ + $\frac{8}{(z+3)^{2}}$

≥ $\frac{64}{(x+\frac{y}{2}+2+z+3)^{2}}$ = $\frac{64\times4}{(2x+y+2z+10)^{2}}$ ≥ $\frac{64\times4}{(6+10)^{2}}$ =1

Dấu đẳng thức xảy ra khi x =1, y =2, z= 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt khi x =1, y =2, z =1.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.