Từ điểm K nằm ngoài đường tròn vẽ cát tuyến KBC với đường tròn (không qua O) và B nằm
Từ điểm K nằm ngoài đường tròn vẽ cát tuyến KBC với đường tròn (không qua O) và B nằm giữa K và C. Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại A. Qua A vẽ đường vuông góc với KO cắt KO tại H, cắt (O) tại E và F biết E nằm giữa A và F. Gọi M là giao điểm AO và BC. Chứng minh rằng:
a) Các điểm A, C, H, O, B cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tứ giác EMOF nội tiếp.
Quảng cáo
a) Chứng minh chúng cùng thuộc đường tròn đường kính OA.
b) Sử dụng tam giác đồng dạng suy ra góc bằng nhau.
Từ điểm K nằm ngoài đường tròn vẽ cát tuyến KBC với đường tròn (không qua O) và B nằm giữa K và C. Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại A. Qua A vẽ đường vuông góc với KO cắt KO tại H, cắt (O) tại E và F biết E nằm giữa A và F. Gọi M là giao điểm AO và BC. Chứng minh rằng:
a) Các điểm A, C, H, O, B cùng nằm trên một đường tròn.
Do AC, AB là các tiếp tuyến của (O) tại B và C nên: \(\angle ACO = \angle ABO = {90^0}.\)
Lại có AH vuông góc KO nên: \(\angle AHO = {90^0}.\)
Vậy các điểm H, C, B cùng nhìn OA dưới 1 góc vuông.
Do đó: A, C, H, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OA. (đpcm)
b) Tứ giác EMOF nội tiếp.
Do AC là tiếp tuyến nên áp dụng tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung ta có: \(\angle ACE = \angle AFC\)
Từ đó: \(\Delta AEC \sim \Delta ACF\;(g - g) \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AF}} \Rightarrow A{C^2} = AE.AF.\)
Ta có \(AB,\;\;AC\) là các tiếp tuyến cắt nhau tại \(A \Rightarrow OA \bot BC\;\;hay\;\;CM \bot OA.\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(OAC\) vuông tại \(C\) có đường cao \(CM\) ta có:
\(\begin{array}{l}A{C^2} = AM.AO\\ \Rightarrow AM.AO = AE.AF \to \frac{{AM}}{{AF}} = \frac{{AE}}{{AO}}\\ \Rightarrow \Delta AEM \sim \Delta AOF\;\;\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \angle AEM = \angle AOF\\ \Rightarrow \angle AOF + \angle MEF = {180^0}.\end{array}\)
Do vậy tứ giác EMOF nội tiếp (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
