Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm C di động sao cho: \(CA \le CB\) (C khác A và B).
Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm C di động sao cho: \(CA \le CB\) (C khác A và B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Gọi I, J, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, CHA và CHB.
a) Chứng minh I là trực tâm tam giác CJK.
b) Gọi O là trung điểm AB và E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CHO. Tính: \(\angle AEO.\)
Quảng cáo
a) Ta sẽ chứng minh: AI vuông CK và BK vuông CJ.
b) Chứng minh C, I, E thẳng hàng, từ đó suy ra tứ giác AHEC nội tiếp.
Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm C di động sao cho: \(CA \le CB.\) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Gọi I, J, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, CHA và CHB.
a) Chứng minh I là trực tâm tam giác CJK.
Ta có: A, J, I thẳng hàng do đây là đường phân giác góc A.
Tương tự ta cũng có B, I, K thẳng hàng.
Áp dụng tính chất các tia phân giác ta có:
\(\begin{array}{l}\angle IBC + \angle JCB = \frac{1}{2}\angle CBA + \angle HCB + \angle JCH = \frac{1}{2}\angle CBA + \angle HCB + \frac{1}{2}\angle ACH\\ = \angle CBA + \angle HCB = {90^0} \Rightarrow KI \bot CJ.\end{array}\)
(\(\angle ACH = \angle CBA\) do cùng phụ \(\angle HCB\)).
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: IJ vuông CK.
Do vậy I là trực tâm tam giác CJK. (đpcm)
b) Gọi O là trung điểm AB và E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CHO. Tính: \(\widehat {AEO}.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\angle ACE = \angle ACH + \frac{1}{2}\angle HCO = \angle ACB + \frac{1}{2}({90^0} - \angle COH)\\ = \angle ACB + {45^0} - \frac{1}{2}(\angle OCB + \angle OBC)\\ = \angle ACB + {45^0} - \frac{1}{2}.2.\angle OBC = {45^0} = \angle ACI\end{array}\)
\( \Rightarrow C,\;I,\;E\) thẳng hàng.
Lại có: \(\angle ACE = {45^0} = \angle EHO\) nên AHEC là tứ giác nội tiếp, do đó: \(\angle AEC = \angle AHC = {90^0}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\angle CEO = {180^0} - \angle ECO - \angle EOC = {180^0} - \frac{1}{2}\angle HCO - \frac{1}{2}\angle HOC\\ = {180^0} - \frac{1}{2}({90^0} - \angle HOC) - \frac{1}{2}\angle HOC\\ = {180^0} - {45^0} + \frac{1}{2}\angle HOC - \frac{1}{2}\angle HOC = {135^0}\\ \Rightarrow \angle AEO = {360^0} - \angle AEC - \angle CEO = {360^0} - {90^0} - {135^0} = {135^0}.\end{array}\)
Vậy: \(\angle AEO = {135^0}.\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
