Chứng minh rằng : \(\frac{{ab}}{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b + c}

Câu hỏi số 280981:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng : \(\frac{{ab}}{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} + \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} = 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:280981

Phương pháp giải

Sử dụng định lí: Nếu đa thức : \(f\left( x \right) = ax + b\) có ít nhất 2 nghiệm thì \(a = b = 0\) tức là \(f\left( x \right) = 0\) với mọi x.

Giải chi tiết

Đặt

\(\begin{array}{l}P(x) = \frac{{xb}}{{\left( {c + x} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{xc}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + x} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)}} + \frac{{2xbc}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}} - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{xb\left( {x + b} \right) + xc\left( {x + c} \right) + bc\left( {b + c} \right) + 2xbc - \left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}}\end{array}\)

Xét tử số \(f\left( x \right) = xb\left( {x + b} \right) + xc\left( {x + c} \right) + bc\left( {b + c} \right) + 2xbc - \left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)\) có hệ số của \({x^2}\) là \(b + c - \left( {b + c} \right) = 0\) \( \Rightarrow \) Bậc của \(f\left( x \right)\) nhỏ hơn hoặc bằng 1.

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( b \right) = {b^2}.2b + bc\left( {b + c} \right) + bc\left( {b + c} \right) + 2{b^2}c - 2b.{\left( {b + c} \right)^2} = 0\\f\left( c \right) = cb\left( {c + b} \right) + 2{c^3} + bc\left( {b + c} \right) + 2b{c^2} - 2c\left( {c + b} \right)\left( {b + c} \right) = 0\end{array} \right.\)

Do đó b, c là 2 nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\).

Bậc của \(f\left( x \right)\) nhỏ hơn hoặc bằng 1, trong khi đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) lại có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \equiv 0\,\,\forall x\) hay \(P\left( x \right) = 0\,\,\forall x\).

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = \frac{{xb}}{{\left( {c + x} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{xc}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + x} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)}} + \frac{{2xbc}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}} - 1\\P\left( x \right) = \frac{{xb\left( {x + b} \right) + xc\left( {x + c} \right) + bc\left( {b + c} \right) + 2xbc - \left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}} = 0\\ \Rightarrow P\left( a \right) = \frac{{ab}}{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} + \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ab}}{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} + \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} = 1\end{array}\)

Vậy \(\frac{{ab}}{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} + \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} = 1\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link