Chứng minh rằng : \(\frac{{ab}}{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b + c}

Câu hỏi số 280981:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng : \(\frac{{ab}}{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} + \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} = 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:280981

Phương pháp giải

Sử dụng định lí: Nếu đa thức : \(f\left( x \right) = ax + b\) có ít nhất 2 nghiệm thì \(a = b = 0\) tức là \(f\left( x \right) = 0\) với mọi x.

Giải chi tiết

Đặt

\(\begin{array}{l}P(x) = \frac{{xb}}{{\left( {c + x} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{xc}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + x} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)}} + \frac{{2xbc}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}} - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{xb\left( {x + b} \right) + xc\left( {x + c} \right) + bc\left( {b + c} \right) + 2xbc - \left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}}\end{array}\)

Xét tử số \(f\left( x \right) = xb\left( {x + b} \right) + xc\left( {x + c} \right) + bc\left( {b + c} \right) + 2xbc - \left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)\) có hệ số của \({x^2}\) là \(b + c - \left( {b + c} \right) = 0\) \( \Rightarrow \) Bậc của \(f\left( x \right)\) nhỏ hơn hoặc bằng 1.

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( b \right) = {b^2}.2b + bc\left( {b + c} \right) + bc\left( {b + c} \right) + 2{b^2}c - 2b.{\left( {b + c} \right)^2} = 0\\f\left( c \right) = cb\left( {c + b} \right) + 2{c^3} + bc\left( {b + c} \right) + 2b{c^2} - 2c\left( {c + b} \right)\left( {b + c} \right) = 0\end{array} \right.\)

Do đó b, c là 2 nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\).

Bậc của \(f\left( x \right)\) nhỏ hơn hoặc bằng 1, trong khi đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) lại có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \equiv 0\,\,\forall x\) hay \(P\left( x \right) = 0\,\,\forall x\).

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = \frac{{xb}}{{\left( {c + x} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{xc}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + x} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)}} + \frac{{2xbc}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}} - 1\\P\left( x \right) = \frac{{xb\left( {x + b} \right) + xc\left( {x + c} \right) + bc\left( {b + c} \right) + 2xbc - \left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}} = 0\\ \Rightarrow P\left( a \right) = \frac{{ab}}{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} + \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ab}}{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} + \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} = 1\end{array}\)

Vậy \(\frac{{ab}}{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} + \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} = 1\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link