Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Gọi \(H,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AC\) . a.

Câu hỏi số 281627:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Gọi \(H,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AC\) .

a. Chứng minh tứ giác \(ABHK\) là hình thang.

b. Trên tia đối của tia \(HA\) lấy điểm \(E\) sao cho \(H\) là trung điểm của cạnh \(A{\rm{E}}\) . Chứng minh tứ giác \(ABEC\) là hình thoi.

c. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với \(AH\) cắt tia \(HK\) tại \(D\) . Chứng minh \(A{\rm{D}} = BH\) .

d. Vẽ \(HN \bot AB\left( {N \in AB} \right)\), gọi I là trung điểm của AN. Trên tia đối của tia BH lấy điểm M sao cho B là trung điểm của HM. Chứng minh: \(MN \bot HI\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:281627

Phương pháp giải

Áp dụng: +) Tính chất đường trung bình của tam giác.

+) Dấu hiệu nhận biết của hình thang, hình bình hành, hình thoi

+) Tính chất tam giác cân, tính chất hình bình hành

Giải chi tiết

a. Xét \(\Delta ABC\) có: \(H,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AC\) (gt)

\( \Rightarrow HK\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow HK//AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(ABHK\) là hình thang (dhnb)

b. Xét tứ giác \(ABEC\) có: \(H\) là trung điểm của \(A{\rm{E}}\) và \(BC\) (gt) nên suy ra tứ giác \(ABEC\) là hình bình hành (dhnb)

Lại có, \(\Delta ABC\) cân tại \(A\;\left( {gt} \right) \Rightarrow AB = AC\) (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow \) Hình bình hành \(ABEC\) có hai cạnh bên bằng nhau nên là hình thoi (dhnb)

c. Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) (gt), mà \(AH\) là trung tuyến

\( \Rightarrow \) \(AH\) cũng là đường cao của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow AH \bot BC\)

Mà \(AD \bot AH\left( {gt} \right) \Rightarrow AD//BH\;\;\left( { \bot AH} \right)\)

Lại có: \(AB//DH\) (do \(D,\,H,\,K\) thẳng hàng)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ADHB\) là hình bình hành (dhnb)

\( \Rightarrow AD = BH\) (tính chất)

d. Gọi \(O\) là trung điểm của \(HN\) và \(I\) là trung điểm của \(AN\left( {gt} \right) \Rightarrow I{\rm{O}}\) là đường trung bình của \(\Delta ANH\) (dhnb)

\( \Rightarrow I{\rm{O}}//AH\) (tính chất)

Mà \(AH \bot BC \Rightarrow OI \bot BC\) hay \(OI\) là đường cao của tam giác \(BIH.\)

Xét \(\Delta BIH\) có đường cao HN và IO cắt nhau tại O nên O là trực tâm của \(\Delta IBH\)

\( \Rightarrow BO\) là đường cao của \(\Delta IBH\)

Hay \(BO \bot IH.\;\;\;\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta MNH\) có: \(B\) là trung điểm của \(MH,\;\;O\) là trung điểm của \(NH.\)

\( \Rightarrow BO\) là đường trung bình của \(\Delta MNH\) \( \Rightarrow BO//MN\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MN \bot HI\) .

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link