1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: \({x^2} + 5{y^2} + 2xy - 2x + 2y < 0.\) 2) Cho 2 số thực a, b thỏa

Câu hỏi số 282393:

Vận dụng cao

1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: \({x^2} + 5{y^2} + 2xy - 2x + 2y < 0.\)

2) Cho 2 số thực a, b thỏa mãn: \({a^2} + {b^2} + 36 = 9(a + b).\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = {a^2} + {b^2}.\)

A. \(\begin{array}{l}a)\,\,\left( {x;\,y} \right) = \left\{ {\left( {1;\,0} \right);\,\left( {2;\, - 1} \right)} \right\}\\b)\,\,GTLN = 72;\,\,\,GTNN = 18\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}a)\,\,\left( {x;\,y} \right) = \left\{ {\left( { - 1;\,0} \right);\,\left( { - 2;\, - 1} \right)} \right\}\\b)\,\,GTLN = 72;\,\,\,GTNN = 16\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}a)\,\,\left( {x;\,y} \right) = \left\{ {\left( {1;\,0} \right);\,\left( { - 2;\, - 1} \right)} \right\}\\b)\,\,GTLN = 70;\,\,\,GTNN = 18\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}a)\,\,\left( {x;\,y} \right) = \left\{ {\left( { - 1;\,0} \right);\,\left( {2;\, - 1} \right)} \right\}\\b)\,\,GTLN = 70;\,\,\,GTNN = 16\end{array}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:282393

Phương pháp giải

1) Sử dụng biến đổi thành tổng các bình phương theo hằng đẳng thức.

2) Sử dụng BĐT Cô Si linh hoạt để đưa về thành 1 nhân tử a + b.

Giải chi tiết

1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: \({x^2} + 5{y^2} + 2xy - 2x + 2y < 0.\)

Ta có: \({x^2} + 5{y^2} + 2xy - 2x + 2y < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 1 + 2xy - 2x - 2y + 4{y^2} + 4y + 1 < 2\\ \Leftrightarrow {(x + y - 1)^2} + {(2y + 1)^2} < 2\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Vì \(x,\;y \in Z,\;\;{\left( {x + y - 1} \right)^2} \ge 0,\;\;{\left( {2y + 1} \right)^2} \le 0\;\forall x,\;y\) nên ta có:

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y - 1} \right)^2} = 1\\{\left( {2y + 1} \right)^2} = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {2y + 1} \right)^2} = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\2y + 1 = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\2y + 1 = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 1\\2y + 1 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = - 1\\2y + 1 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\;\;\left( {tm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1\end{array} \right.\;\left( {tm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\left( {ktm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\;\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Vậy các giá trị nguyên thỏa mãn là: \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {1;\;0} \right),\;\left( {2; - 1} \right)} \right\}.\)

2) Cho 2 số thực a, b thỏa mãn: \({a^2} + {b^2} + 36 = 9(a + b).\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = {a^2} + {b^2}.\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\({a^2} + {b^2} \ge \frac{{{{(a + b)}^2}}}{2} \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 36 = 9(a + b) \le 9\sqrt {2({a^2} + {b^2})} \)

Đặt \(t = \sqrt {2({a^2} + {b^2})} \) ta có :

\(\begin{array}{l}\frac{{{t^2}}}{2} + 36 \le 9t \Leftrightarrow {t^2} - 18t + 72 \le 0 \Leftrightarrow (t - 12)(t - 6) \le 0\\ \Leftrightarrow 6 \le t \le 12 \Leftrightarrow 18 \le {a^2} + {b^2} \le 72.\end{array}\)

Vậy GTNN của M là 18, dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 18\\a + b = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = a - 6\\{a^2} + {\left( {a - 6} \right)^2} = 18\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = a - 6\\2{a^2} - 12a + 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6 - a\\a = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\end{array} \right..\)

GTLN của M là 72, dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 72\\a + b = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 12 - a\\{a^2} + {\left( {12 - a} \right)^2} = 72\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 12 - a\\2{a^2} - 24a + 72 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 6\end{array} \right..\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link