Cho tam giác nhọn ABC AB < AC nội tiếp (O; R) có \(\angle BAC = {45^0},\) đường cao BD. 1) Chứng minh

Câu hỏi số 282392:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn ABC AB < AC nội tiếp (O; R) có \(\angle BAC = {45^0},\) đường cao BD.

1) Chứng minh rằng tứ giác BCDO nội tiếp và \(A{B^2} + 2C{D^2} = 4{R^2}.\)

2) Giả sử đường cao CE của tam giác ABC cắt đường cao BD tại H và I là điểm đối xứng với O qua BC. Tính độ dài đoạn IH theo R.

3) Chứng minh O là trực tâm của tam giác ADE.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:282392

Phương pháp giải

a) Chứng minh B, C, D, O cùng thuộc đường tròn đường kính BC và chú ý rằng ABD là tam giác vuông cân, từ đó sử dụng Py-ta-go.

b) Vẽ đường kính AS, Chứng minh rằng H, T, S thẳng hàng với T là trung điểm BC.

c) Chứng minh EO là trung trực của AC, từ đó suy ra O là trực tâm.

Giải chi tiết

Cho tam giác nhọn ABC AB < AC nội tiếp (O; R) có \(\angle BAC = {45^0},\) đường cao BD.

1) Chứng minh rằng tứ giác BCDO nội tiếp và \(A{B^2} + 2C{D^2} = 4{R^2}.\)

Do \(\angle BAC = {45^0} \Rightarrow \angle BOC = {90^0}\)(góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung).

Do vậy: \(\angle BOC = \angle BDC = {90^0}\) nên O và D cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông.

Vậy B, C, D, O cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

Hay tứ giác BCDO là tứ giác nội tiếp (đpcm).

Do \(\angle BAC = {45^0}\) nên tam giác BDA vuông cân, do đó BD = DA.

Áp dụng định lý Py-ta-go với tam giác \(ABD\) vuông tại \({\rm{D}}\) ta có:

\(A{B^2} = A{D^2} + B{D^2} = 2B{D^2}.\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go với \(\Delta BDC\) vuông tại \(D\) ta có:

\(B{C^2} = C{D^2} + B{D^2}.\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go với \(\Delta BOC\) vuông tại \(O\) ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = O{B^2} + O{C^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2}.\\ \Rightarrow A{B^2} + 2C{D^2} = 2B{D^2} + 2C{D^2} = 2\left( {B{D^2} + C{D^2}} \right) = 2B{C^2} = 2.2{R^2} = 4{R^2}\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

2) Giả sử đường cao CE của tam giác cắt BD tại H, I đối xứng với O qua BC. Tính IH theo R.

Giả sử: \(OI\) cắt \(BC\) tại \(K \Rightarrow K\) là trung điểm của \(BC.\)

Vẽ đường kính \(AS,\) ta có: \(CS \bot AC\) (\(\angle ACS\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Lại có \(BH \bot AC \Rightarrow CS//BH\;\;\left( { \bot AC} \right).\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có : \(CH//BS\;\;\left( { \bot AB} \right)\)

\( \Rightarrow BHCS\) là hình bình hành (dhnb).

Mà \(K\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow K\) cũng là trung điểm của \(HS.\)

Xét \(\Delta AHS\) ta có: \(O\) là trung điểm của \(AS\;\;\left( {gt} \right)\)

\(K\) là trung điểm của \(HS\;\;\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow OK\) là đường trung bình của \(\Delta AHS.\)

\( \Rightarrow OK = \frac{1}{2}AH \Rightarrow AH = 2OK = OI.\)

Xét tứ giác \(HAOI\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OI = AH\;\;\left( {cmt} \right)\\OI//AH\;\;\;\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HAOI\) là hình bình hành (dhnb).

\( \Rightarrow IH = AO = R\) (cặp cạnh đối bằng nhau).

3) Chứng minh O là trực tâm của tam giác ADE.

Xét AEC : \(\Delta AEC:\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}\angle EAC = {45^0}\\\angle AEC = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta AEC\) vuông cân tại \(E \Rightarrow EA = EC.\)

Lại có: \(OA = OC \Rightarrow EO\) là đường trung trực của \(AC.\)

\( \Rightarrow EO \bot AC.\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có : \(DO \bot EA.\)

\( \Rightarrow \Delta ADE\) có hai đường cao cắt nhau tại \(O \Rightarrow O\) là trực tâm của \(\Delta ADE.\;\;\left( {dpcm} \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link