1. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn \(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {2^n}C_n^n = 59049\). Biết số

Câu hỏi số 282472:

Vận dụng

1. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn \(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {2^n}C_n^n = 59049\). Biết số hạng thứ 3 trong khai triển Newton của \({\left( {{x^2} - \frac{3}{x}} \right)^n}\) có giá trị bằng \(\frac{{81}}{2}n\). Tìm x?

2. Có 2 lô sản phẩm. Lô I có 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Lô II có 12 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Một người chọn ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm từ lô I và 2 sản phẩm từ lô II một cách độc lập. Tính xác suất để cả 4 sản phẩm được chọn ra đều là sản phẩm tốt.

A. 1)\(x = 1\) hoặc \(x = - 1\).

2)\(P\left( A \right) = \frac{{66}}{{245}}\).

B. 1)\(x = 1\) hoặc \(x = - 1\).

2)\(P\left( A \right) = \frac{{67}}{{245}}\).

C. 1)\(x = 1\) hoặc \(x = - 2\).

2)\(P\left( A \right) = \frac{{66}}{{245}}\).

D. 1)\(x = 1\) hoặc \(x = - 1\).

2)\(P\left( A \right) = \frac{{66}}{{345}}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:282472

Phương pháp giải

1. +) Viết khai triển của tổng \({\left( {x + 2} \right)^n}\), thay \(x = 1\) và tìm n.

+) Thay n vừa tìm được, tìm số hạng thứ 2 của khai triển \({\left( {{x^2} - \frac{3}{x}} \right)^n}\), sau đó tìm x.

2. +) Tính số phần tử của không gian mẫu

+) Tính số phần tử của biến cố.

+) Tính xác suất của biến cố.

Giải chi tiết

1. Xét tổng \({\left( {x + 2} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n - k}}{2^k}} = C_n^0.{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}}{2^1} + C_n^2{x^{n - 2}}{2^2} + ... + C_n^n{2^n}\)

Thay \(x = 1\) ta có: \({3^n} = C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {2^n}C_n^n = 59049 \Rightarrow n = 10\)

Ta có: \({\left( {{x^2} - \frac{3}{x}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{10 - k}}{{\left( { - \frac{3}{x}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 - 2k}}{{\left( { - 3} \right)}^k}{x^{ - k}}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( { - 3} \right)}^k}{x^{20 - 3k}}} \)

Số hạng thứ 3 trong khai triển trên là \(C_{10}^2{\left( { - 3} \right)^2}.{x^{14}} = \frac{{81}}{2}n = \frac{{81}}{2}.10 = 405\)

\( \Leftrightarrow 405.{x^{14}} = 405 \Leftrightarrow x = \pm 1\)

Vậy \(x = 1\) hoặc \(x = - 1\).

2. Số cách chọn 4 sản phẩm bất kì (2sp lô I + 2sp lô II) là \(C_{15}^2.C_{15}^2\) cách \( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = C_{15}^2.C_{15}^2\)

Số cách chọn 2 sản phẩm tốt từ lô I là \(C_{10}^2 = 45\)

Số cách chọn 2 sản phẩm tốt từ lô II là \(C_{12}^2 = 66\)

Gọi A là biến cố: “ cả 4 sản phầm được chọn ra đều là sản phẩm tốt”

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 45.66 = 2970\)

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{2970}}{{C_{15}^2.C_{15}^2}} = \frac{{66}}{{245}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.