Tìm m để phương trình \(m\sin x + \cos x = \frac{{2m}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\)có nghiệm thuộc \(\left[
Tìm m để phương trình \(m\sin x + \cos x = \frac{{2m}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\)có nghiệm thuộc \(\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\)?\(\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+) Đưa phương trình về dạng: \(\sin \left( {x + \alpha } \right) = \sin \beta \)
+) Biện luận nghiệm của phương trình thu được
Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {m^2} + 1 \ge {\left( {\frac{{2m}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} \ge 4{m^2} \Leftrightarrow {m^2} + 2{m^2} + 1 \ge 4{m^2}\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2{m^2} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 1} \right)^2} \ge 0\;\;\forall m.\end{array}\)
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m.\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,m\sin x + \cos x = \frac{{2m}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \frac{m}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\sin x + \frac{1}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\cos x = \frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}\end{array}\)
Đặt \(\frac{1}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \sin \alpha ;\,\,\frac{m}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \cos \alpha \,\,\,\,\left( {\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]} \right)\)
\(\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow \sin x\cos \alpha + \cos x\sin \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \alpha } \right) = \sin 2\alpha \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \alpha = 2\alpha + k2\pi \\x + \alpha = \pi - 2\alpha + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - 3\alpha + m2\pi \end{array} \right.,\;k,\;m \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
Để phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\) thì: \(\left[ \begin{array}{l}0 < \alpha + k2\pi < \frac{\pi }{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\0 < \pi - 3\alpha + m2\pi < \frac{\pi }{4}\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
Vì \(\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]\) nên trong (1) ta chọn \(k = 0\); trong (2) chọn \(m = 0\) hoặc \(m = 1\).
Ta có:
\(\left[ \begin{array}{l}0 \le \alpha \le \frac{\pi }{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\0 \le \pi - 3\alpha \le \frac{\pi }{4}\,\,\\0 \le \pi - 3\alpha+2\pi \le \frac{\pi }{4}\,\,\,\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le \alpha \le \frac{\pi }{4}\,\,\\\frac{\pi }{4} \le \alpha \le \frac{\pi }{3}\,\\\frac{{11\pi }}{{12}} \le \alpha \le \pi \,\,\,\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 0 \le \sin \alpha \le \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} \le \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left| m \right| \ge \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
