Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật , AB = a√3, AA’ =AC = 2a√3. Hình chiếu của B xuống (A’B’C’D’) trùng với trung điểm của B’D’. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và góc giữa hai đường thẳng AC và BB’.

Câu hỏi số 2853:

A. V_{ABCD.A’B’C’D’} = 9a³√3, cos( $\widehat{AC,BB'}$ ) = $\frac{1}{4}$

B. V_{ABCD.A’B’C’D’} = 7a³√3, cos( $\widehat{AC,BB'}$ ) = $\frac{1}{4}$

C. V_{ABCD.A’B’C’D’} = 9a³√3, cos( $\widehat{AC,BB'}$ ) = - $\frac{1}{4}$

D. V_{ABCD.A’B’C’D’} = 8a³√3, cos( $\widehat{AC,BB'}$ ) = - $\frac{1}{4}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:2853

Giải chi tiết

Trong tam giác vuông ABC ta có

BC = $\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}$ = $\sqrt{12a^{2}-3a^{2}}$ = 3a.

Gọi O là trung điểm của B’D’ thì O là tâm của hình chữ nhật A’B’C’D’.

Khi đó BO ⊥(A’B’C’D’).

Trong tam giác vuông BOB’ ta có BO = $\sqrt{BB'^{2}-B'O^{2}}$ = $\sqrt{12a^{2}-3a^{2}}$ = 3a.

Từ đó suy ra V_{ABCD.A’B’C’D’} =AB.BC.BO = a√3.3a.3a = 9a³√3.

Vì BO ⊥ (ABCD) => BO ⊥AB.

Trong tam giác ABO vuông tại B ta có

AO = $\sqrt{AB^{2}+BO^{2}}$ = $\sqrt{3a^{2}+9a^{2}}$ = 2a√3.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AA’O ta có

cos $\widehat{AA'O}$ = $\frac{A'A^{2}+A'O^{2}-AO^{2}}{2A'A.A'O}$ = $\frac{12a^{2}+3a^{2}-12a^{2}}{22a\sqrt{3}.a\sqrt{3}}$ = $\frac{1}{4}$ .

Suy ra cos( $\widehat{AC,BB'}$ ) = |COS $\widehat{AA'O}$ | = $\frac{1}{4}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.