Cho các số thực x,y thỏa mãn + = 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = +

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 2857:

Cho các số thực x,y thỏa mãn $\sqrt{2x+3}$ + $\sqrt{y+3}$ = 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\sqrt{x+2}$ + $\sqrt{y+9}$

A. maxP = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ + √22, minP = - $\frac{3\sqrt{10}}{2}$ .

B. maxP = - $\frac{\sqrt{2}}{2}$ + √22, minP =- $\frac{3\sqrt{10}}{2}$ .

C. maxP = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ + √22, minP = $\frac{3\sqrt{10}}{2}$ .

D. maxP = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ - √22, minP = - $\frac{3\sqrt{10}}{2}$ ,

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:2857

Giải chi tiết

Đặt $\sqrt{2x+3}$ = a, $\sqrt{y+3}$ = b. Ta có a + b =4, a ≥ 0 , b≥ 0. (1)

Khi đó P = $\sqrt{\frac{a^{2}-3}{2}+2}$ + $\sqrt{b^{2}-3+9}$ = $\sqrt{\frac{a^{2}+1}{2}}$ + $\sqrt{b^{2}+6}$

= $\sqrt{\frac{a^{2}+1}{2}}$ + $\sqrt{(4-a)^{2}+6}$ .

Từ (1) ta có 0 ≤ a ≤ 4.

Xét hàm số f(a) = $\sqrt{\frac{a^{2}+1}{2}}$ + $\sqrt{(4-a)^{2}+6}$ , 0 ≤ a ≤ 4.

Ta có f’(a) = $\frac{a}{\sqrt{2(a^{2}+1)}}$ - $\frac{4-a}{\sqrt{(4-a)^{2}+6}}$ , 0 ≤ a ≤ 4.

f’(a) = 0 ⇔ $\frac{a}{\sqrt{2(a^{2}+1)}}$ = $\frac{4-a}{\sqrt{(4-a)^{2}+6}}$ , 0 ≤ a ≤ 4

⇔ $\left\{\begin{matrix}0\leq a\leq 4\\a^{2}(4-a)^{2}+6a^{2}=2(a^{2}+1)(4-a)^{2}\end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}0\leq a\leq 4\\a^{4}-8a^{3}+12a^{2}-16(a-2)=0\end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}0\leq a\leq 4\\(a-2)(a^{3}-6a^{2}-16)=0\end{matrix}\right.$ ⇔ a= 2.

Ta có f(0) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ + √22; f(2) = $\frac{3\sqrt{10}}{2}$ ; f(4) = $\frac{\sqrt{34}}{2}$ + √6.

Suy ra maxP = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ + √22, đạt khi x =- $\frac{3}{2}$ , y = 13;

minP = $\frac{3\sqrt{10}}{2}$ , đạt khi x = $\frac{1}{2}$ , y =1.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.