Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\,AB = 6\,cm,\,AC = 8\,cm\). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(BC\) .

Câu hỏi số 285327:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\,AB = 6\,cm,\,AC = 8\,cm\). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(BC\) . Điểm \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(M\) .

1. Chứng minh tứ giác \(AB{\rm{D}}C\) là hình chữ nhật. Tính diện tích hình chữ nhật \(AB{\rm{D}}C\) .

2. Kẻ \(AH \bot BC\left( {H \in BC} \right)\), gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(H\) . Chứng minh: \(HM//DE\) và \(HM = \frac{1}{2}DE\).

3. Tính tỉ số \(\frac{{{S_{AHM}}}}{{{S_{A{\rm{ED}}}}}}\).

4. Chứng minh tứ giác \(BC{\rm{D}}E\) là hình thang cân.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:285327

Phương pháp giải

Áp dụng:

- Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật, hình bình hành, hình thang cân.

- Tính chất đường trung bình của tam giác, tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

- Định lý Ta-lét.

Giải chi tiết

1. Xét tứ giác \(AB{\rm{D}}C\) có \(A{\rm{D}}\) và \(BC\) cắt nhau tại trung điểm \(M\) của mỗi đường (gt)

\( \Rightarrow AB{\rm{D}}C\) là hình bình hành (dhnb)

Lại có \(\angle BAC = {90^0}\left( {gt} \right) \Rightarrow \) hình bình hành \(AB{\rm{D}}C\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Ta có: \({S_{AB{\rm{D}}C}} = AB.AC = 6.8 = 48\,c{m^2}\)

2. Xét \(\Delta A{\rm{D}}E\) có \(H,\,M\) là trung điểm của \(A{\rm{E}}\) và \(A{\rm{D}}\) (gt)

\( \Rightarrow HM\) là đường trung bình của \(\Delta A{\rm{D}}E\) (dhnb)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HM = \frac{1}{2}DE\\HM//DE\end{array} \right.\) (tính chất)

3. Xét \(\Delta A{\rm{D}}E\) có: \(MH//DE\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{AM}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{AH}}{{A{\rm{E}}}} = \frac{{MH}}{{DE}}\) (định lý Ta-lét)

\(\Delta AHM \sim \Delta A{\rm{ED}}\left( {c - c - c} \right) \Rightarrow \frac{{{S_{AHM}}}}{{{S_{A{\rm{ED}}}}}} = {\left( {\frac{{HM}}{{DE}}} \right)^2} = \frac{1}{4}\;\;\;\left( {dpcm} \right).\)

4. Ta có: \(MH//DE\left( {cmt} \right) \Rightarrow BC//DE \Rightarrow BC{\rm{D}}E\) là hình thang (dhnb)

Xét \(\Delta ABE\) có: \(BH\) vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên \(\Delta ABE\)là tam giác cân tại B (dhnb)

\( \Rightarrow BH\) là phân giác của \(\angle ABE\) (tính chất)

\( \Rightarrow \angle ABC = \angle CBE\) (tính chất tia phân giác)

Mà \(\angle ABC = \angle BC{\rm{D}}\) (so le trong)

\( \Rightarrow \angle CBE = \angle BC{\rm{D}}\) \( \Rightarrow \) hình thang \(BC{\rm{D}}E\) là hình thang cân (dhnb).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link