Cho biểu thức: \(P = \frac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2} + x}} - \frac{{x - 1}}{x} + \frac{3}{{x + 1}}\) 1. Rút gọn \(P\)

Câu hỏi số 285326:

Vận dụng

Cho biểu thức: \(P = \frac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2} + x}} - \frac{{x - 1}}{x} + \frac{3}{{x + 1}}\)

1. Rút gọn \(P\) .

2. Tìm x để \(P = 0\)

3. Tính giá trị biểu thức \(P\) khi \(x\) thỏa mãn: \({x^2} - x = 0\).

4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = \frac{1}{{{x^2} - 9}}.P\)

A. \(\begin{array}{l}1)\,\,P = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3)\,\,P = 2\\2)\,\,x = - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4)\,\,maxQ = \frac{{ - 1}}{4}\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}1)\,\,P = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3)\,\,P = 2\\2)\,\,x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4)\,\,maxQ = \frac{1}{4}\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}1)\,\,P = \frac{{x - 3}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3)\,\,P = - 2\\2)\,\,x = - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4)\,\,maxQ = \frac{{ - 1}}{4}\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}1)\,\,P = \frac{{x - 3}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3)\,\,P = - 2\\2)\,\,x = - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4)\,\,maxQ = \frac{1}{4}\end{array}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:285326

Phương pháp giải

- Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

- Quy đồng và rút gọn.

Giải chi tiết

\(P = \frac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2} + x}} - \frac{{x - 1}}{x} + \frac{3}{{x + 1}}\)

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne - 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}1)\,\,P = \frac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2} + x}} - \frac{{x - 1}}{x} + \frac{3}{{x + 1}} = \frac{{2{x^2} - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{x - 1}}{x} + \frac{3}{{x + 1}}\\ = \frac{{2{x^2} - 1 - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 3x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2{x^2} - 1 - {x^2} + 1 + 3{\rm{x}}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}.\end{array}\)

\(2)\,\,P = 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\left( {tm} \right)\)

Vậy với \(x = - 3\) thì \(P = 0.\)

\(3)\,\,{x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 1\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Thay \(x = 1\) vào biểu thức \(P\) ta được: \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} = \frac{{1 + 3}}{{1 + 1}} = 2\).

4) Ta có: \(Q = \frac{1}{{{x^2} - 9}}.P = \frac{1}{{{x^2} - 9}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}} = \frac{{x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} - 2x - 3}}\)

\( \Rightarrow Q\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: \({x^2} - 2x - 3 = {x^2} - 2x + 1 - 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} - 4\).

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} - 4 \ge - 4\,\,\forall x \Rightarrow \frac{1}{{{x^2} - 2x - 3}} \le - \frac{1}{4}\)

\( \Rightarrow Q\;\;\max = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\;\;\left( {tm} \right).\)

Vậy \(Max\;Q = - \frac{1}{4}\;\;khi\;\;x = 1.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link