Chứng tỏ rẳng 2 số \(2n + 1\) và \(6n + 5\) là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên

Câu hỏi số 286221:

Vận dụng cao

Chứng tỏ rẳng 2 số \(2n + 1\) và \(6n + 5\) là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:286221

Phương pháp giải

Đặt ƯCLN của chúng là d suy ra mỗi số đều chia hết cho d, sau đó ta tìm cách chứng minh \(d = 1\)

Giải chi tiết

Đặt ƯCLN\(\left( {2n + 1;6n + 5} \right) = d\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,d\\\left( {6n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3.\left( {2n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,d\\\left( {6n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {6n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\\\left( {6n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\left( {6n + 5} \right) - \left( {6n + 3} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow \left( {6n + 5 - 6n - 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow 2\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow d \in \left\{ {1;2} \right\}\end{array}\)

Mặt khác \(2n + 1\) là số lẻ nên \(d \ne 2\) \( \Rightarrow d = 1\)

Vậy \(2n + 1\) và \(6n + 5\) là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link