Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 4\sqrt {\sin x + 1 + {a^2}} - 1\) lần

Câu hỏi số 287436:

Vận dụng

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 4\sqrt {\sin x + 1 + {a^2}} - 1\) lần lượt là m và M. Xác định a dương để \(M + m = 6 + 4\sqrt 2 \)?

A. \(\sqrt 2 \)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(2\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:287436

Phương pháp giải

- Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số theo a.

- Dựa vào điều kiện \(M + m = 6 + 4\sqrt 2 \), xác định phương trình ẩn a.

- Giải phương trình tìm a.

Giải chi tiết

Ta có: \(\sin x + 1 + {a^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R},\) nên hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\).

Vì \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow - 1 + 1 + {a^2} \le \sin x + 1 + {a^2} \le 1 + 1 + {a^2} \Leftrightarrow {a^2} \le \sin x + 1 + {a^2} \le {a^2} + 2.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = 4\sqrt {{a^2} + 2} - 1\\m = 4\sqrt {{a^2}} - 1 = 4\left| a \right| - 1 = 4a - 1\;\;\left( {do\;\;a > 0} \right)\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M + m = 6 + 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow 4\sqrt {{a^2} + 2} - 1 + 4a - 1 = 6 + 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow 4\sqrt {{a^2} + 2} + 4a = 4\sqrt 2 + 8\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 2} + a = \sqrt 2 + 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 2} - 2 + a - \sqrt 2 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sqrt {{a^2} + 2} - 2} \right)\left( {\sqrt {{a^2} + 2} + 2} \right)}}{{\sqrt {{a^2} + 2} + 2}} + a - \sqrt 2 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - 2}}{{\sqrt {{a^2} + 2} + 2}} + a - \sqrt 2 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {a - \sqrt 2 } \right)\left( {a + \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt {{a^2} + 2} + 2}} + a - \sqrt 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - \sqrt 2 } \right)\left( {\frac{{a + \sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2} + 2}} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a - \sqrt 2 = 0\;\;\;\left( {do\;\;\frac{{a + \sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2} + 2}} + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow a = \sqrt 2 \;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(a = \sqrt 2 .\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.