Phương trình: \(4.\frac{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x}}{{\sin 2x}} = \frac{1}{2}\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot

Câu hỏi số 288809:

Vận dụng

Phương trình: \(4.\frac{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x}}{{\sin 2x}} = \frac{1}{2}\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\)

A. 3

B. 2

C. 4

D. 5

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:288809

Phương pháp giải

- Biến đổi cả hai vế phương trình về dạng của \(\sin 2x\)

- Giải phương trình của \(\sin 2x\) bằng phân tích nhân tử

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\sin 2x \ne 0\)

Phương trình (2) \( \Leftrightarrow 4\left( {1 - \frac{3}{4}{{\sin }^2}2x} \right) = \frac{1}{2}\sin 2x\left( {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4 - 3{\sin ^2}2x = \sin 2x\left( {\frac{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}} \right) \Leftrightarrow 4 - 3{\sin ^2}2x = \frac{1}{2}\sin 2x\left( {\frac{{1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x}}{{\frac{1}{4}{{\sin }^2}2x}}} \right)\\ \Leftrightarrow 4 - 3{\sin ^2}2x = \sin 2x.\frac{{2 - {{\sin }^2}2x}}{{{{\sin }^2}2x}} \Leftrightarrow 4\sin 2x - 3{\sin ^3}2x = 2 - {\sin ^2}2x\\ \Leftrightarrow 3{\sin ^3}2x - {\sin ^2}2x - 4\sin 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {\sin 2x - 1} \right)\left( {3{{\sin }^2}2x + 2\sin 2x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x - 1 = 0\\3{\sin ^2}2x + 2\sin 2x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 1\\\sin 2x = \frac{{ - 1 - \sqrt 7 }}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\\\sin 2x = \frac{{\sqrt 7 - 1}}{3} = \sin 2\alpha \left( {\alpha \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \alpha + m\pi \\x = \frac{\pi }{2} - \alpha + l\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {k,\;m,\;l \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện \(\sin 2x \ne 0\)

Xét: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le \frac{\pi }{4} + k\pi \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow k = 0\\0 \le \alpha + m\pi \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{\alpha }{\pi } \le m \le \frac{1}{2} - \frac{\alpha }{\pi } \Leftrightarrow m = 0\\0 \le \frac{\pi }{2} - \alpha + l\pi \, \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{\alpha }{\pi } - \frac{1}{2} \le l \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow l = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array} \right.\)

Vậy có 3 ngiệm nằm trong miền trên.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.