Hai nghiệm bất kì của phương trình \(2{\sin ^3}x - \cos 2x + \cos x = 0\) cách nhau khoảng nhỏ nhất

Câu hỏi số 288812:

Vận dụng

Hai nghiệm bất kì của phương trình \(2{\sin ^3}x - \cos 2x + \cos x = 0\) cách nhau khoảng nhỏ nhất là?

A. \(\frac{\pi }{6}\)

B. \(\frac{\pi }{4}\)

C. \(\frac{\pi }{2}\)

D. \(\frac{\pi }{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:288812

Phương pháp giải

- Dùng công thức nhân đôi và nhóm nhân tử

\(2{\sin ^3}x - 1 + 2{\sin ^2}x + \cos x = 0 \Leftrightarrow 2(\sin x + 1){\sin ^2}x + \left( {\cos x - 1} \right) = 0\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x - 1 + 2{\sin ^2}x + \cos x = 0 \Leftrightarrow 2(\sin x + 1){\sin ^2}x + \cos x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2(\sin x + 1)(1 - {\cos ^2}x) + \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {2(\sin x + 1)(\cos x + 1) - 1 = 0} \right]\\ \Leftrightarrow (1 - \cos x)\left[ {{{(\sin x + \cos x)}^2} + 2(\sin x + \cos x)} \right]\\ \Leftrightarrow (1 - \cos x)(\sin x + \cos x)(\sin x + \cos x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - \cos x = 0\\\sin x + \cos x = 0\\\sin x + \cos x + 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,(vn)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + m\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.

Hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\)của phương trình, nếu cùng 1 họ nghiệm thì khoảng cách nhỏ nhất\(\pi \) hoặc \(2\pi \). Nếu chúng thuộc hai họ nghiệm khác nhau, xét:

\(\left| {k2\pi - \left( { - \frac{\pi }{4} + m\pi } \right)} \right| = \left| {\frac{\pi }{4} + \pi \left( {2k - m} \right)} \right|\) nhỏ nhất khi chỉ khi \(2k = m\), khoảng cách nhỏ nhất là \(\frac{\pi }{4}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.