Tổng các nghiệm của phương trình \(2\cos 2x\, - \,8\cos x\, + \,7\, = \,\frac{1}{{\cos x}}\,\)nằm trong

Câu hỏi số 288814:

Vận dụng

Tổng các nghiệm của phương trình \(2\cos 2x\, - \,8\cos x\, + \,7\, = \,\frac{1}{{\cos x}}\,\)nằm trong \(\left( {0;3\pi } \right)\) là?

A. \(\frac{{20\pi }}{3}\)

B. \(\frac{{19\pi }}{3}\)

C. \(\frac{{17\pi }}{3}\)

D. \(6\pi \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:288814

Phương pháp giải

- Quy đồng và đưa phương trình về phương trình đa thức của cosx

- Phân tích thành nhân tử

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\cos x\, \ne \,0.\) Nhân cả hai vế của phương trình (1) với \(\cos x\, \ne \,0\) ta có

\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos x\, - \,8{\cos ^2}x\, + \,7\cos x\, = \,1\\ \Leftrightarrow \,2\cos x(2{\cos ^2}x\, - \,1)\, - \,8{\cos ^2}x\,\, + \,7\cos x = \,1\\ \Leftrightarrow \,4{\cos ^3}x - \,8{\cos ^2}x\,\, + \,5\cos x - \,1\, = \,0\\ \Leftrightarrow \,(\cos x\, - \,1)(4{\cos ^2}x\, - \,4\cos x\, + \,1)\, = \,0\,\\ \Leftrightarrow \,(\cos x\, - \,1){(2\cos x - \,1)^2}\, = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\cos x\, = \,1\\\cos x\, = \,\frac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}x\, = \,k2\pi \\x = \, \pm \frac{\pi }{3}\, + \,m2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,(k\,,\;m \in \,\mathbb{Z})\end{array}\)

Phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;\;3\pi } \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < k2\pi < 3\pi \Leftrightarrow 0 < k < \frac{3}{2} \Leftrightarrow k = 1\\0 < \,\frac{\pi }{3}\, + \,m2\pi < 3\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < m < \frac{4}{3} \Leftrightarrow m \in \left\{ {0;1} \right\}\\0 < \, - \frac{\pi }{3}\, + \,l2\pi < 3\pi \Leftrightarrow \frac{1}{3} < l < \frac{5}{3} \Leftrightarrow l = 1\end{array} \right.\)

Tổng các nghiệm là: \(2\pi + \frac{\pi }{3} + \left( {\frac{\pi }{3} + 2\pi } \right) + \left( { - \frac{\pi }{3} + 2\pi } \right) = \frac{{19\pi }}{3}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.