Tìm m để phương trình \({\sin ^8}x\, + \,{\cos ^8}x\, = \,2({\sin ^{10}}x\, + \,{\cos ^{10}}x)\, +

Câu hỏi số 288820:

Vận dụng cao

Tìm m để phương trình \({\sin ^8}x\, + \,{\cos ^8}x\, = \,2({\sin ^{10}}x\, + \,{\cos ^{10}}x)\, + \,\frac{m}{2}\cos 2x\)có nghiệm thuộc \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\)?

A. \(0;2\)

B. \(\left( { - 1;0} \right)\)

C. \(\left( {0;1} \right)\)

D. \(\left( { - 2;0} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:288820

Phương pháp giải

+) Chuyển vế , sử dụng công thức nhân đôi

\(\, \Leftrightarrow \,\,\,(1\, - \,2{\sin ^2}x){\sin ^8}x - \,(\,2\,{\cos ^2}x - \,1)\,{\cos ^8}x\, = \,\frac{m}{2}\cos 2x\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\cos 2x.\,{\sin ^8}x - \,\,\cos 2x.{\cos ^8}x\, = \frac{m}{2}\cos 2x\)

+) Biện luận nghiệm của phương trình : \({\sin ^8}x - \,\,{\cos ^8}x\, = \,\frac{m}{2}\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,Pt \Leftrightarrow \,\,\,(1\, - \,2{\sin ^2}x){\sin ^8}x - \,(\,2\,{\cos ^2}x - \,1)\,{\cos ^8}x\, = \,\frac{m}{2}\cos 2x\\\, \Leftrightarrow \,\,\,\cos 2x.\,{\sin ^8}x - \,\,\cos 2x.{\cos ^8}x\, = \frac{m}{2}\cos 2x\\\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,({\sin ^8}x - \,\,{\cos ^8}x)\,cos2x = \frac{m}{2}\cos 2x\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x\, = \,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{\sin ^8}x - \,\,{\cos ^8}x\, = \,\frac{m}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải (1) ta được \(2x\, = \,\frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x\, = \,\frac{\pi }{4}\, + \,k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Xét: \(0 < \frac{\pi }{4}\, + \,k\frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow k \in \emptyset \,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

Họ nghiệm này không cho nghiệm nào thõa mãn.

Giải (2): Xét \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) thì \(\sin x < \cos x\); từ đó \({\sin ^8} - \,\,{\cos ^8}0 < {\sin ^8}x - \,\,{\cos ^8}x < {\sin ^8}\frac{\pi }{4} - \,\,{\cos ^8}\frac{\pi }{4}\)

Suy ra: \( - 1 < {\sin ^8}x - \,\,{\cos ^8}x < 0\) hay để phương trình có nghiêm thuộc \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) thì \( - 1 < \frac{m}{2} < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 0\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.