Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh trong các bài tập sau

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng cao

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = {x^4} + {x^2} - 6x + 9\).

Xem lời giải

Câu hỏi:289791

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức đã cho về dạng tổng của các bình phương sau đó lí luận để tìm GTNN.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = {x^4} + {x^2} - 6x + 9\\\,\,\,\,\, = \left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right) + \left( {3{x^2} - 6x + 3} \right) + 5\\\,\,\,\,\, = {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + 3{\left( {x - 1} \right)^2} + 5\end{array}\).

Vì \({\left( {{x^2} - 1} \right)^2} \ge 0\) và \(3{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên suy ra \(P \ge 5\) với mọi \(x\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 0\\3{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) đã cho là \(5\), đạt được khi \(x = 1\).

Câu hỏi số 2:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng \({n^2} + 11n + 39\) không chia hết cho \(49\) với mọi số tự nhiên \(n\)

Xem lời giải

Câu hỏi:289792

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất chia hết để làm bài toán.

Giải chi tiết

Với \(n \in \mathbb{N}\) ta có:

\({n^2} + 11n + 39 = \left( {{n^2} + 11n + 18} \right) + 21 \\= \left( {{n^2} + 2n + 9n + 18} \right) + 21 \\= \left[ {n(n + 2) + 9(n + 2)} \right] + 21\\ = (n + 2)(n + 9) + 21\)

Vì \((n + 9) - (n + 2) = 7\) nên \(n + 9\) và \(n + 2\) có thể cùng chia hết cho \(7\) hoặc cùng số dư khác \(0\) khi chia cho \(7\).

+) Nếu \(n + 9\) và \(n + 2\) có thể cùng chia hết cho \(7\) thì \((n + 2)(n + 9) \vdots 49\).

Mà \(21\) không chia hết cho \(49\) nên \((n + 2)(n + 9) + 21\) không chia hết cho \(49\).

+) Nếu \(n + 9\) và \(n + 2\) có cùng số dư khác \(0\) khi chia cho \(7\) thì \((n + 2)(n + 9)\) không chia hết cho \(7\).

Mà \(21 \vdots 7\) nên \((n + 2)(n + 9) + 21\) không chia hết cho \(7\).

Do đó \((n + 2)(n + 9) + 21\) không chia hết cho \(49\).

Vậy \({n^2} + 11n + 39\) không chia hết cho \(49\) với mọi số tự nhiên \(n\) (đpcm).

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link