Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\angle B = {60^0}\). Vẽ \(AH \bot BC\) tại \(H\). a) Tính số đo

Câu hỏi số 290261:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\angle B = {60^0}\). Vẽ \(AH \bot BC\) tại \(H\).

a) Tính số đo \(\angle HAB\).

b) Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(AD = AH\). Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(HD\). Chứng minh \(\Delta AHI = \Delta ADI\). Từ đó suy ra \(AI \bot HD\).

c) Tia \(AI\) cắt cạnh \(HC\) tại điểm \(K\). Chứng minh \(\Delta AHK = \Delta ADK\), từ đó suy ra \(AB\)//\(KD\).

d) Trên tia đối của tia \(HA\) lấy điểm \(E\) sao cho \(HE = AH\). Chứng minh \(H\) là trung điểm của \(BK\) và ba điểm \(D,\,\,K,\,\,E\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:290261

Phương pháp giải

- Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác.

- Áp dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác và các tính chất của hai tam giác bằng nhau.

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) ta có:

\(\angle HBA + \angle HAB = {90^0}\) (hai góc phụ nhau)

\( \Rightarrow \angle HAB = {90^0} - \angle HBA = {90^0} - {60^0} = {30^0}\)

Vậy \(\angle HAB = {30^0}\)

b) Xét \(\Delta AHI\) và \(\Delta ADI\) ta có:

\(AH = AD\,\,(gt)\)

\(IH = ID\) (do \(I\) là trung điểm của \(HD\))

\(AI\) là cạnh chung

Vậy \(\Delta AHI = \Delta ADI\,\,(c.c.c)\)

Suy ra \(\angle HIA = \angle DIA\) (\(2\) góc tương ứng)

Mà \(\angle HIA + \angle DIA = {180^0}\) (\(2\)góc kề bù)

\( \Rightarrow \,\angle HIA = \angle DIA = {90^0}\)

Do đó: \(AI \bot HD\,\) (đpcm)

c) Vì \(\Delta AHI = \Delta ADI\,\)(cm câu b)

\( \Rightarrow \angle HAK = \angle DAK\) (\(2\) góc tương ứng)

Xét \(\Delta AHK\) và \(\Delta ADK\) ta có:

\(AH = AD\,\,(gt)\)

\(\angle HAK = \angle DAK\) (cmt)

\(AK\) là cạnh chung

Vậy \(\Delta AHK = \Delta ADK\,\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow \angle AHK = \angle ADK = {90^0}\) (\(2\) góc tương ứng)

\( \Rightarrow KD \bot AC\)

Mà \(BA \bot AC\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\))

Suy ra \(AB//KD\) (đpcm)

d) Ta có:

\(\begin{array}{l}\angle BAH + \angle HAD = \angle BAD = {90^0}\\ \Rightarrow \angle HAD = {90^0} - \angle BAH = {90^0} - {30^0} = {60^0}\end{array}\)

Lại có \(\angle HAK = \angle DAK\)(cmt)

Suy ra \(\angle HAK = \angle DAK = {30^0}\)

Theo chứng câu ta có \(\angle HAB = {30^0}\).

Vậy \(\angle HAB = \angle HAK\)

+) Xét hai tam giác vuông tại \(H\) là \(\Delta ABH\) và \(\Delta AKH\) ta có:

\(\angle BHA = \angle KHA = {90^0}\)

\(AH\) là cạnh chung

\(\angle HAB = \angle HAK\)(cmt)

Vậy \(\Delta ABH = \Delta AKH\,\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow BH = KH\) (\(2\) cạnh tương ứng)

+) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta EKH\) ta có:

\(BH = KH\) (cmt)

\(\angle BHA = \angle KHE\) (\(2\) góc đối đỉnh)

\(AH = HE\,\) (gt)

Vậy \(\Delta ABH = \Delta EKH\,\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow \angle ABH = \angle EKH\) (\(2\) góc tương ứng)

Mà \(\angle ABH\) và \(\angle EKH\) là hai góc so le trong

Suy ra \(AB//EK\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Mà \(AB//KD\) (cm câu c)

Theo tiên đề Ơ-clit thì đường thẳng \(EK\) trùng với đường thẳng \(KD\).

Do đó ba điểm \(D,K,E\) thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link